第二节刚体转动.pptVIP

第二节刚 体 转 动 §4.2 刚体转动 Rotation of a rigid body 1、刚体 Rigid Body ： 物体在外力或外力矩作用下，其组成质点之间的距离恒保持一定。 2、刚体运动 = 平动 + 转动 (1) 平动 Translation： 刚体中的所有质点都沿平行的路径运行，因而刚体中任意两点的连线始终保持与其初始位置平行。 (2) 转动 Rotation： 刚体中的所有质点都绕一轴线 ( 称为转轴 ) 作圆周运动。轴线可固定，也可因运动而改变方向。 (3)一般运动： 可以看成是质心平动和绕通过质心的轴转动的合成。 质心的运动和单个质点的运动完全一样，该质点的质量等于物体的质量，而它受的作用力就等于作用于该物体的外力之和。这种运动可按照第三章中所阐述的质点动力学方法来分析，因而并不涉及什么新方法。 一、定轴转动的刚体角动量 1、定轴转动：转轴相对惯性系是固定不动 2、刚体定轴转动角动量： 设刚体以角速度ω绕 Z 轴转动，而圆心位于 Z 轴上。 质点 Ai 速度 vi =ω? ri vi =ω? Ri 质点 Ai 相对于 O点的角动量： Li = mi ri ? vi Li = mi ri vi 平行于 Z 轴的分量： Liz= mirivi cos(?/2 - ?i) = miri sin?i ?Ri= mi Ri2? 转动物体的总角动量沿转动轴 Z 的分量： LZ = ∑i Liz = ∑i mi Ri2? = IZ ? 式中 IZ =∑i mi Ri2 称为物体相对于 Z轴的转动惯量， 物体越扩展，转 动惯量就越大。 物体的总角 动量 L =∑iLi , 一般不与转轴平行。 二、转动惯量 Moment of inertia 的计算 刚体是由大量紧密堆积的质点组成，所以转动惯量的求和可用积分式来代替，即： IZ = ∑i mi Ri2 = ? R2 dm 设ρ为物体的密度，则 dm=ρdv，因而 IZ = ? ρR2dv = ? ρ( x2 + y2 )dv 如果物体是均匀的，则其密度恒定，因而上式可写成： IZ =ρ? R2 dv = ρ? ( x2 + y2 )dv 于是这个积分就化为一个几何因子。对于具有相同形状和大小的所有物体，这个因子相同。 IX，IY的关系式与上式相似 1、垂直轴定理 如果物体是薄片，沿Z轴的厚度可看作零因为： IX= ?ρy2 dv IY= ?ρx2 dv 所以 ： IZ = IX + IY 上式仅对于薄片才成立，称垂直轴定理。 2、平行轴定理 Steiner’s theorem 物体相对于两平行轴的转动惯量之间有一个很简单的关系式。 设 Z 为一任意轴，ZC为一平行于 Z 且经过物体质心的轴，则： IZ = IC + md2 ( d 是二轴之间的间隔 ) 式中 IZ 和 IC 分别为该物体相对于 Z轴和 ZC轴的转动惯量，m是物体的质量。 回转半径 Radius of gyration K： 物理意义： K表示某点至转轴的距离，该点集中了物体的全部质量而又不改变物体的转动惯量 对于均匀物体而言， K由物体的几何形状所完全决定。 我们可将它列成一表，以便用来计算转动惯量。表4-1中列出若干种几何图形的回转半径的平方值。 例4-2 求一均匀细棒相对于(a)垂直于棒且通过棒的一端的轴和(b)垂直于棒且通过棒中心的轴的转动惯量。 解：(a)设L为棒AB的长度，S为棒的截面，假定S非常小，dx小段的体积为dv=Sdx，由每一小段到Y轴的距离为 x，并令密度ρ恒定，则得： IA = ?LO ρx2 Sdx =ρS ?LO x2 dx =ρL3S/ 3 SL为棒的体积 ρSL为棒的质量 故： IA= mL2/ 3 (b)计算通过质心YC 轴的转动惯量(三种方法)第一种：分段两段，每一段的质量为 m/2 ，长度为L/2，它们绕YC 轴的转动惯量为 第二种：与(a)中相同， 但积分范围是从 -L/2