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作业 习题4-2 3,4,6,8,9 概率论 概率论 第二节 方差 方差的定义 方差的性质 例如, 某零件的真实长度为 a, 现用甲、乙两台仪器各测量10次, 将测量结果 X 用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣, 你认为哪台仪器好一些呢？ 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 在一些场合, 仅仅知道平均值是不够的. 又如, 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹,其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 由此可见, 研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的. 那么, 用怎样的量去度量这个偏离程度呢? 容易看到 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的: 方差 能度量随机变量与其均值 E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值, 运算不方便, 通常用量 来度量随机变量X与其均值 E(X)的偏离程度. 一、方差的定义 (variance) 1. 定义: 设 X是一个随机变量, 若E[(X-E(X)]2存在, 称 E[X-E(X)]2 为 X 的方差. 记为 D(X) 或 Var(X), 即: D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2 若X的取值比较分散，则方差D(X)较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差D(X)较小； 因此, D(X)是刻画 X 取值分散程度的一个量, 它是衡量 X 取值分散程度的一个尺度。 X为离散型，分布律P{X=xk}=pk 1) 由定义知, 方差是随机变量 X 的函数: g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望 . 2. 方差的计算 X为连续型，X概率密度 f(x) 2) 计算方差的一个简化公式: D(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 利用期望性质 例1: 设随机变量X具有(0, 1) 分布，其分布律为 求D(X) . 解: 由公式: 因此,0-1分布: 例2: 解: X的分布律为: 上节已算得 因此,泊松分布: 例3: 解: 因此,均匀分布: 例4: 设随机变量X服从指数分布,其概率密度为 解: 由此可知,指数分布: 二、方差的性质 1. 设 C 是常数, 则 D(C)=0 ; 2. 若 a,b 是常数, 则 D (a X + b) = a2D(X) ; 3. 设 X 与 Y 是两个随机变量，则: D(X±Y)= D(X)+D(Y) ±2E [ (X-E(X)) (Y-E(Y)) ] 证明性质3: *证明: 若 X,Y 相互独立, 此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况. 例6: 设X~b(n, p), 求 E(X) 和 D(X). 若设: i=1,2，…，n 则 是n次试验中“成功” 的次数 解: X~b(n,p), 则X表示n重努里试验中的 “成功” 次数 . i=1,2，…，n 由于X1,X2,…, Xn 相互独立, 于是: E(Xi)= p, D(Xi)= p(1- p) , = np(1- p) 例7: 解: 于是: 例如, 例8: 解: 由于: 故有: 概率论 概率论