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第二节 离散型随机变量及其分布函数 离散型随机变量及其概率分布 常用离散分布 二项分布的泊松近似 例题选讲： 一、离散型随机变量及其概率分布 定义 设离散型随机变量 的所有可能取值为 , 称 为 的概率分布或分布律, 也称概率函数. 常用表格形式来表示 的概率分布: 二、常用离散分布 退化分布 两点分布 个点上的均匀分布 二项分布 几何分布 超几何分布 泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一. 实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布. 三、二项分布的泊松近似 定理1 (泊松定理) 在 重伯努利试验中, 事件 在每次试验中发生的概率为 (注意这与试验的次数 有关), 如果 时, ( 为常数), 则对任意给定的 , 有 . 例题选讲： 离散型随机变量及其概率分布 例1 (讲义例1) 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数 的概率分布. 解 可取0, 1, 2为值, 且 于是, 的概率分布可表示为 例2 设随机变量 的概率分布为: . 试确定常数 . 解 依据概率分布的性质： 欲使上述函数为概率分布应有 从中解得 注: 这里用到了常见的幂级数展开式 两点分布 例3 (讲义例2) 200件产品中, 有196件是正品, 4件是次品, 今从中随机地抽取一件, 若规定 则 于是, 服从参数为0.98的两点分布. 二项分布 例4 (讲义例3) 已知100个产品中有5个次品, 现从中有放回地取3次, 每次任取1个, 求在所取的3个中恰有2个次品的概率. 解 因为这是有放回地取3次, 因此这3次试验的条件完全相同且独立, 它是伯努利试验, 依题意, 每次试验取到次品的概率为0.05. 设 为所取的3个中的次品数, 则 于是, 所求概率为: 注: 若将本例中的 “有放回” 改为 “无放回”, 那么各次试验条件就不同了, 已不是伯努利概型, 此时, 只能用古典概型求解. 例5 (讲义例4) 某人进行射击, 设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率. 解 将一次射击看成是一次试验. 设击中的次数为 , 则 的分布律为 于是所求概率为 例6 设有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一是由4人维护, 每人负责20台; 其二是由3人共同维护80台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法. 以 记 “第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”, 以 表示 “第人维护的20台中发生故障不能及时维修”, 则知80台中发生故障不能及时维修的概率为 而 故有 即 按第二种方法. 以 记80台中同一时刻发生故障的台数. 此时 故80台中发生故障而不能及时维修的概率为 结果表明, 在后一种情况尽管任务重了(每人平均维护约27台), 但工作效率不仅没有降低, 反而提高了. 例7 某射手连续向一目标射击, 直到命中为止, 已知他每发命中的概率是 , 求所需射击发数 的概率分布. 解 显然, 可能取的值是 为计算 设 {第 发命中}, 则 ………… 可见所求需射击发数的概率分布为 泊松分布 例8 (讲义例5) 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数 的泊松分布, 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率. 解 由概率的性质, 得 二项分布的泊松近似 例9 (讲义例6) 某公司生产的一种产品300件. 根据历史生产记录知废品率为0.01. 问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少? 解 把每件产品的检验看作一次伯努利试验, 它有两个结果: {正品}, {废品}.检验300件产品就是作300次独立的伯努利试验. 用 表示检验出的废品数, 则