第八节多元函数的极值及其求法.pptVIP

例3 求表面积为 而体积为最大的长方体的体积． 解 设长方体的长、宽、高分别为 则它的体积 且 即 本题即： 求函数 在条件 下的最大值． 用拉格朗日乘数法． ＋ 作辅助函数 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ = 0 = 0 = 0 (1) (2) (3) (4) (1)(2)(3)即 (5) (6) (7) (8) (9) (8)(9)代入(4)得 点 是可能极值点 由实际问题知： 表面积为 而体积为最大的 长方体一定存在， 又可能极值点只有一个， 所以， 可以断言： 最大值就在该点取到． 即 在表面积为 的所有长方体中， 长、宽、高均为 的那个体积最大， 最大体积 例4 求函数 在附加条件 ， 下的极值． ， 解 本题即： 求函数 ， 在附加条件 下的极值． 用拉格朗日乘数法． 作辅助函数 = 0 = 0 = 0 (1) (2) (3) (4) 由(1)(2)得 由(2)(3)得 (5) (6) (5)(6)代入(4)得 点 是唯一的可能极值点 下面来判断其是否为极值点。 设由附加条件 确定了隐函数 代入目标函数 得 下面判定点 的无条件极值点。 是否为函数 由隐函数求导法，得 ， 又 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 又 点 的极小值点。 是函数 点 是条件极小值点 目标函数 ， 在附加条件 下在点 取到极小值 ＝ 三、最大值与最小值的应用 例5 某工厂生产两种产品A和B,出售单价分别为10元与９元，生产x单位的产品A与生产y单位的产品B的总费用为： 　　400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2) (元) 解：设L(x,y)表示产品A和B分别生产x单位和 y单位时所得的总利润. 求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？ 解得 所以，当x=120, y=80时，L(x,y)有极大值L(120,80)=320. x =120 , y=80 即驻点为： (120 , 80). 在点 (120,80)处 即当生产A产品120件，B产品80件时利润最大. 例6 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的销售价格为p，销售量为x.假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量.根据市场预测，销售量x与销售价格p之间有下面的关系： 其中M为市场最大需求量，a是价格系数.同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算： 其中 是只生产一台电视机时的成本，k是规模系数.根据上述条件，应如何确定电视机的售价 p ，才能使该厂获得最大利润？ 解：设厂家获得的利润为u，每台电视机零售价为 p，每台生产成本为c，销售量为x，则 作辅助函数 (1) (2) (3) (4) (5) 解得 将(4)代入(5)得 将(4)代入(2)得 由(3)得 (6) (7) (8) 将(6)(7)(8)代入(1)得 可能极值点为 （ ） 即： 由实际问题知：最大利润一定存在， 而可能极值点 只有一个， 所以， 该点就是最大值点。 即： 当售价 时， 利润最大。 记 则由(4)得 又 作业 P118, 1, 3, 4, 6, 7 9，10 * 第八节 多元函数的极值及其求法 三、最大值与最小值应用 一、多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数 的定义域为D , 为D的内点. 若存在 的某个邻域 , 使得对于该邻域内异于P0 的任何点(x,y)，都有 则称函数 f (x,y) 在点 (x0 ,y0) 有极大值 f(x0 ,y0)， 点 (x0 ,y0) 称为函数f (x,y)的极大值点. ( ) (极小值) (极小值点) 例如 都有 即 有极小值 都有 即 有极大值 , (1) 极值点与极值不同； 说明 (2)在空间直角坐标系中，函数z =f(x,y)表示一个曲面，如果f(x0 ,y0)是函数f(x,y)的极大值， 则在 点 (x0 ,y0) 的某个去心邻域内必有： f(x,y)f(x0,y0) 所以，在点(x0 ,y0)的某个邻域内，点(x0 ,y0 , f(x0 ,y0)) 为曲面的最高点. (极小值) (最低点) 定理1 (必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)处具有偏导数，且在点(x0 ,y0)有极值，则有： 证明: 不妨设 按定义得： 存在点 ， 使得 对该邻域内的异于 的任意点 都有 . 取定 , 因而应有 即 有 这表明: 由一元函数极值的必要条件得 因而, [ ] = 0 = 同理可证: 说明 (1) 几何上,定理1意味着: 极值点 切平面平行于 坐标平面. 在曲面 上, 所对应的点 处的 (2) 定理1的逆命题不