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第八讲 假设检验 一、基本概念 二、 Neyman-Pearson 引理 * 一、基本概念 二、Neyman-Pearson 引理 三、一致最优势检验 在自然科学和社会科学等中，常常要对某 些重要问题做出回答：是或否。 如月球比地球 早形成吗？ 一种新药对某种病有效吗？ 某种 股票会张吗？ 新推出的电视节目收视率高吗？ 等等。 为了回答这些问题， 我们需要对感兴趣 的问题进行试验或观察获得相关数据， 根据这 些数据决定是或否的过程称为假设检验。 (Hypothesis Testing) 在这节，给出一般的Neyman-Pearson假设 检验构架。 原假设和备择假设 布或关于参数 的推测， 称为 假设， 其中 是 的非空真子集。 在一个假设检验中，常涉及两个假设。 所 要检验的假设称为原假设或零假设， 记为 。 而与 不相容的假设，称为备择假设或对立 假设， 记为 。 对参数统计模型 而 言，原假设和备择假设这对矛盾的统一体 称为假设检验问题。 在假设检验问题中， 不相交的非空子集， 一定成立。 保留这个的灵活性， 不仅是理论的 需要， 也有其实际意义。 则称 为简单假设(Simple Hypothesis)， 否则称为复 合假设(Composite Hypothesis)， 对备择假设也有 简单假设和复合假设。 拒绝域、接受域、检验统计量和检验函数 检验一个假设，就是根据某一法则在原 假设和备择假设之间做出选择， 而基于样本 做出拒绝 或接受 所依赖的法则称为检验。 这样一个检验就等同于将样本空间分成 两个互不相交的子集 和 ， 绝 ， 称 为拒绝域， (Rejection Region) 称 为接受域(Acceptance Region)。 这样检验和拒绝 域就建立起一一对应关系。 为了确定拒绝域， 往往根据问题的直观背 景， 寻找合适的统计量 ， 要 能由统计量 确定出拒绝域 ， 这样的统 计量 称为检验统计量(Test Statistic)。 为了便于描述拒绝域及数学理论上的需要， 有必要引入函数 它是拒绝于上的示性函数， 称其为检验函数。 种检验函数也称为非随机化的， 而随机化的检 验函数的定义是： 这 在随机化检验时， 有了样本 后， 计算 若 两类错误、功效和功效函数 由于样本时随机的， 进行检验时可能犯 两类错误， 其一是当 为真时，却拒绝 ， 称为第一类错误， 其概率为 其二是当 为假时，却接受 ， 称为第二类 错误， 其概率为 定义8.1 一个检验的功效(Power)定义为当 假 时拒绝 的概率， 即 而第一类错误和功效可以看成函数 的不同取值， 这个函数称为功效函数。 (Power Function) 检验的水平 当样本容量 固定时， 要减少犯第一类错 误的概率， 就会增大犯第二类错误的概率； 反 之， 若要减少犯第二类错误的概率，就会增大 犯第一类错误的概率。 即就是说当样本容量固 定时， 不可能同时减少犯两类错误的概率， 这 是一对不可调和的矛盾。 Neyman-Pearson检验原理就是控制犯第一 类错误的概率在给定的范围内， 寻找检验使得 犯第二类错误的概率尽可能的小， 即就是使检 验的功效尽可能的大。 这样就是在给定一个较 小的数 (一般取为0.01,0.05,0.1等)， 在满足 的检验函数类中， 寻找使得功效 尽可能大的检验函数。 则称 是一个水 平( Level)为 的检验。 根据这个定义， 水平不唯一。 若 是水平 为 的检验， 则对任何满足 的 ， 也是水平为 的检验。 称 为检验 的大小(Size)或真实水平。 实用上当提到一个检验的水平时， 一般是 指它的真实水平。 设统计模型为 ， 考虑检验问题 比检验(Likelihood Ratio Test)。 对较大 拒绝原假设 的检验称为似然 定义似然比(Likelihood Ratio)为 是统计 量。 在这节，我们先讨论简单原假设对简单备择 假设的检验问题， 设统计模型为 ， 下节讨论较复杂的检验问题。 即参数空间仅包含两个参数， 所考虑的检验问 题为 比较两个检验 的优劣的一个自然 （1） 的准则就是比较它们功效的大小。