第六节克拉默Gramer规则.pptVIP

第六节 克拉默(Gramer)规则 * (1) 是关于未知量 的一个线性方程组, 其中 是第i个方程中第j个未知量的系数, 为第i个方程的常数项(i,j=1,2,…,n)。 定理（克莱姆规则） 若线性方程组（1）的系数行列式 则它有且仅有一个解: 其中 （1≤j≤n)是把D的第j 列换成常数 ,（其余各列不变）得到的行列式。 （2） 证明 我们先证(2)是方程组(1)的一个解,从而(1)有解。 把 代入（1）中第i个方程，得 （3） 把 按第1列展开,注意到 除第1列外,其余各 列都与D的相应列相同,所以 的第1列元素的代 数余子式就是D的第1列对应元素的代数余子式 因此 同理 把它们 代入(3)式,得: …………………………………… +… +… 即第 i个方程变成了恒等式, i=1,2,…,n。 从而（2）是方程组（1）的一个解。 下证方程组（1）的解唯一。为此，任取（1）的一个解 （ ，我们来证 事实上，由于 是方程组（1）的一个解， 所以 在这组恒等式中，分别用 乘以 第1，2，…,n个等式的两边,得 把这个等式左、右两边分别相加，由上 节定理1和定理2，得 因为D≠0，所以 ，j =1,2,…,n。 因此（2）是方程组（1）仅有的一个解。 例1 解线性方程组 解: 因为 所以原方程有唯一解. 又因为 所以原方程组的解为 * * *