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第六节晶体的比热
第六节 晶体的比热 3.6.1 晶体比热的一般理论 本节主要内容: 3.6.2 晶体比热的爱因斯坦模型 3.6.3 晶体比热的德拜模型 3.6 晶体的比热 下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。 晶体比热的实验规律 (1)在高温时,晶体的比热为3NkB(N为晶体中原子的个数, kB=1.38?10-23J?K-1为玻尔兹曼常量) ; (2)在低温时,晶体的比热按T3趋于零。 晶体的定容比热定义为: 3.6.1 晶体比热的一般理论 ---晶体的平均内能 晶格振动比热 晶体电子比热 通常情况下, 本节只讨论晶格振动比热。 1.杜隆--珀替定律(经典理论) 根据能量均分定理,每一个自由度的平均能量是kBT,若晶体有N个原子,则总自由度为: 3N。 低温时经典理论不再适用。 它是一个与温度无关的常数,这一结论称为杜隆--珀替定律。 2.晶格振动的量子理论 晶体可以看成是一个热力学系统,在简谐近似下,晶格中 原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。每个谐振子的能量都是量子化的。 第i个谐振子的能量为: ni是频率为?i的谐振子的平均声子数: 第i个谐振子的能量为: 晶体由N个原子组成,晶体中包含3N个简谐振动,总振动能为 对于宏观晶体,原胞数目N很大,波矢q在简约布里渊区中有N个取值,所以波矢q近似为准连续的,频率也是准连续的。 上式可以用积分来表示: 间的振动模式数。 表示在 3.频率分布函数(模式密度) 设晶体有N个原子,则 (1)定义: 其中?m是最高频率,又称截止频率。 (2)计算 因为频率是波矢的函数,所以我们可以在波矢空间内求出模式密度的表达式。 包含在 内的振动模式数为: 单位频率间隔内的振动模式数。 波矢密度 两个等频率面间的体积 每一支格波的振动模式数 每一支格波的模式密度 晶格总的模式密度 两个等频率面间的波矢数 qy qx 体积元: dq:两等频面间的垂直距离, ds:面积元。 体积元包含的波矢数目: 由梯度定义知: 代入上式得 证明:(法一) 例1:证明由N个质量为m、相距为a的原子组成的一维单原子链的模式密度 一维单原子链 共有N个值 dq间隔内的振动模式数为: 间隔内的振动模式数为: (因子2是因为一个?对应于正负两个波矢q,即一个?对应两个振动模式。) (式中?m为截止频率) (法二) 一维单原子链只有一支格波,且 对于一维单原子链波矢空间的波矢密度为 解: 例2:三维晶体, 求 其中c为常量, qx qy 在波矢空间,等频率面为球面,球半径为q。 3.6.2 晶体比热的爱因斯坦模型 (1)晶体中原子的振动是相互独立的; (2)所有原子都具有同一频率?。 1.模型 设晶体由N个原子组成,因为每个原子可以沿三个方向振动,共有3N个频率为?的振动。 2.计算 (1)比热表达式 通常用爱因斯坦温度?E代替频率?,定义为kB ?E=??, 爱因斯坦比热函数。 爱因斯坦温度?E如何确定呢? 选取合适的?E值,使得在比热显著改变的温度范围内,理论曲线与试验数据相当好的符合。 对于大多数固体材料, ?E在100 300k的范围内。 高温时,当T ?E时, (1) 3.高低温极限讨论 (2)低温时,当T ?E时, 但CV比T3趋于零的速度更快。是什么原因使爱因斯坦模型在低温时不能与实验相吻合呢?
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