第十二章弯曲变形.pptVIP

第十二章　弯曲变形 引言 * * 二、挠度与转角的关系 因为是小变形，所以可近似地认为：θ = tgθ = dω/dx 即：梁上任一横截面的转角θ等于该截面处的挠度ω对x的 一阶导数。 一、挠度与转角的概念 横截面的形心在垂直于梁轴方向的位移,称为挠度,用ω表示 横截面的角位移,称为转角,用θ表示 梁弯曲后的曲率： 挠曲线近似微分方程 d2ω/dx2 = M（x）/ EI ————挠曲线近似微分方程 注意：应用上式时，要选挠曲线轴向上为正，这样才能保证 d2ω/dx2 与M（x）符号一致。 由挠曲线近似微分方程，两边积分得： 式中的C D为积分常数，由梁的边界条件来定。 比如：简支梁： x=0时：ω=0；x=L时：ω=0。 悬臂梁：x=0时：ω=0、θ=0。 ——转角方程 ——挠曲线方程 计算梁位移的积分法 当弯矩方程需要分段建立时，挠曲线近似微分方程也需要分段建立，这时每一段的挠曲线近似微分方程都有两个积分常数，定这些积分常数不仅需要用边界条件，而且还需要用分段点处挠曲线的连续条件和光滑条件。 例1：求图示简支梁受集中载荷F 作用时 的挠曲线方程。 l F a b A B C x2 x1 FAy FBy y x 解：1)列平衡方程求支反力 如图建立坐标系 2)分段列出挠曲线微分方程并积分 F a b A B C qA qB 连续性条件: 边界条件: 3)转角及挠曲线方程 ) ( ) 0 ( 2 1 l x a CB a x AC ￡ ￡ ￡ ￡ 段 段 由变形连续性知挠度极值发生在AC段： F a b A B C qA qB |y|最大值及位置 当集中力作用在中点时： x0 fmax 当F无限接近右支座的极端情况下： 可以用中点挠度近似代替fmax： 计算梁位移的叠加法 一、叠加法 1．使用条件 在线弹性、小变形情况下，各载荷产生的物理量之间互相独立。 2．表述 在若干个载荷共同作用下，梁任意横截面上的总变形=各载荷单独作用时在该截面引起变形的代数和。 二、逐段分析求和法 对于变形表中没有列出的一些简单结构，可将梁拆成两个简单梁，逐段查表再求和得到变形。 如图12-7所示结构。 例2： 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求qB 和ω B。 P l/2 q l/2 A B C 解：1)在P 作用下 2)在q 作用下 3)在 q 和 P 共同作用下 例3：图示外伸梁，设其抗弯刚度EI为 常数，求qC和yC。 l A B C a q 解： 1)沿截面B将梁分成AB、BC段。 2)AB段成为简支梁，受截面B上 的剪力与弯矩作用，剪力作用 在支点， 不产生变形，弯矩产 生的变形为： A B 0.5qa2 qa C q C B 3) BC段成为悬臂梁，在均布载荷q 作用下变形： 对超静定梁进行强度或刚度设计时，首先要求出梁的支座反力。求静不定梁的支座反力的方法与其它超静问题一样，也是要根据变形方程建立补充方程，从而求得解。 一、静定基：解除掉多余约束，用反力代替，使其变为一 个静定梁。此静定梁称为原结构的静定基。 二、补充方程：静定基在原力系和多余反力作用下所产生 的变形要与超静定梁的变形一致，这就是变形补充方程。 注：静定基的形式是不唯一的。 例12-7 简单静不定梁 例4 求下图所示超静定梁的支座反力。 l A B q A B q MA FAy FBy 解：1)取静定基： 除去B点垂直位移约束(可动铰支座)，代以约束反力FBy 2)变形协调条件 A B q MA 3)利用平衡条件求 其余反力 4)静定基的选取不是唯一的 变形协调条件：