第十二节导数在研究函数中的应用.pptVIP

一、函数的单调性与导数 1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若 ，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若 ，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若 ，则f(x)在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求 ； (2)在定义域内解不等式 ； (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 二、函数的极值与导数 1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． [疑难关注] 1．f′(x)0与f(x)为增函数的关系 f′(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件． 2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，如函数y＝x3在x＝0处有y′|x0＝0＝0，但x＝0不是极值点，此外不可导的点也可能是函数的极值点． 1．(课本习题改编)函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝(　　) A．2　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3处有极值．∴f′(－3)＝0. 3×9－6a＝0.∴a＝5. 答案：D 3．(2012年高考陕西卷)设函数f(x)＝xex，则(　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：利用导数的乘法法则求解． ∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)． ∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x－1时函数f(x)为减函数． ∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值． 答案：D 4．(课本习题改编)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________． 解析：f′(x)＝3x2－a，在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， ∴f′(1)≥0，即3×1－a≥0.∴a≤3. 答案：3 5．(2013年皖南八校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数f(x)有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)0，解得a－3或a6. 答案：a－3或a6 考向一　函数的单调性与导数 [例1]　(2012年高考北京卷改编)已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx. (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间． [解析]　(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b， 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)． 1．(2013年郑州模拟)若函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________． 此时g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表： 考向三　函数单调性与极值的综合问题 [例3]　(2012年高考浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a. (1)求f(x)的单调区间； (2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|0. [解析]　(1)由题意得f′(x)＝12x2－2a. 当a≤0时，f′(x)≥0恒成