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第十五章虚位移原理

第十五章 虚位移原理 虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题,是研究静力学平衡问题的另一途径。 分析力学的分析静力学中的最重要的原理。通过功、能等标量,用数学分析的方法研究系统(主要是非自由质系)的机械运动,它由拉格朗日(法,1736-1783)建立。 §15-1 分析力学的基本概念 1. 约束:将限制非自由质系运动的条件称为约束。 约束的数学表达式称为约束方程。 约束方程的实例 运动约束:限制质点系运动情况的运动条件。 几何约束条件: 几何约束:限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。 稳定约束(定常约束):约束方程中不显含时间 。 不稳定约束(非定常约束):约束方程中显含时间 。 非完整约束:不可积分的运动约束,约束方程中包含坐标对时间的导数(如运动约束),约束方程不可积分为有限形式。 完整约束:几何约束及可积分的运动约束。 例15-1 质点A、B由杆件及导轨连接成曲柄滑块机构形式。确定写出约束方程。 解:本题为平面问题,二个质点 有三个几何约束 以上约束方程是等式,允许质点作一定的运动但不允许质点从任何方向脱离约束,此类约束为双面约束(或不可解约束)。 约束方程是不等式,允许质点从某一方向脱离约束,此类约束为单面约束(或可解约束)。 虚位移 定义: 在给定瞬时,质系中质点在所有约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为质系的虚位移。 以 表示。 注意: 2. 虚位移与实位移的区别: 1. 虚位移广义概念,可以是线位移、角位移、相对 线位移、相对角位移等。 实位移:实位移 是在 的时间内真实发生的,它除满足约束方程外,还满足动力学方程及初始条件。 虚位移:是实际未必发生的、虚设的、有任意性的与所受力无关的,只满足给定瞬时的约束方程,是约束的直接结果。 虚位移可以是无数个,而对应于主动力、时间、实位移初始条件实位移只有一个 例15-2 求例15-1中各质点的虚位移。 解:(1)几何法: 方向如图所示 (2)解析法 (直角坐标中虚位移的投影 约束方程式 虚位移满足关系式 (3)解析法(广义虚位移 (3)解析法(广义虚位移 ) 坐标表达式 虚位移表达式 理想约束:约束力在质系虚位移上元功之和为零的约束。 例:光滑面约束 纯滚动约束 不可伸长轻质杆约束 §17-2 虚位移原理 具有理想约束的质点系,其平衡的充要条件是:作用于质系的主动力在任一虚位移上所作虚功的和对于零。 或 或投影表达式 注: 当质点系存在摩擦力的非理想约束状态时,应用虚位移原理只需将摩擦力当作主动力。 原理推导 质系具有理想约束,且处于静止平衡状态 给质点系以某种虚位移,上式点乘虚位移 再将N个式子相加 约束力在虚位移中所作虚功; 主动力在虚位移中所作虚功。 质系具有理想约束 具有理想约束的质点系,其平衡的充要条件是:作用于质系的主动力在任一虚位移上所作虚功的和对于零。 例15-3 螺旋压榨机中螺杆的螺距为 。如果在手柄上作用一在水平面内的力偶,其力偶矩为 ,求平衡时作用于被压榨物体上的压力。(忽略螺杆与螺母之间的摩擦) 解:(1)研究由手柄、螺杆及压板组成的平衡系统,忽略摩擦后,它是理想约束。标出主动力( 及压板阻力 ) (2)给系统以虚位移,手柄转角 压板行程 且 (3)计算主动力之虚功,并代入虚位移原理 由于 是任意的,故有 或 所求的压力与阻力 大小相等,方向相反。 (5)解题过程中,利用约束力不作功避免了所有约束力的出现,这是虚位移原理解题与几何静力学解题相比的巨大优点。 例15-4 三铰拱上有载荷作用力 及力偶 ,如图所示,求铰B的约束力。 解:三铰拱是受有完全约束的系统,必须解除部分约束,赋予运动自由度,才能应用虚位移原理。 (1)求铰水平约束力:解除B铰的水平约束,代之以水平力 。求系统在 、 作用下的平衡条件。 给虚位移,并用几何法计算各虚位移的关系。 所以 所以 (2)求B铰的垂直约束力:解除B铰的垂直约束,代之以垂直力 。注意杆BCD的速度瞬心在A。 例15-5 图示系统中,滑轮轴承处光滑,细绳不可伸长,A处的水平面粗糙

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