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第十八章 隐函数定理及其应用 第五节隐函数的求导公式  一 问题的提出 三 对数求导法 四 由参数方程所确定的函数的导数 五 相关变化率问题 六 小结与思考判断题 一、一个方程的情形 第十八章 隐函数定理及其应用 二、方程组的情形 三、小结 第六节 微分法在几何上的应用 三 曲面的切平面与法线 四 小结 该例也可利用全微分形式不变性来做。 该定理不予证明，因为超纲。 为了将一个方程确定的隐函数的求导方法推广至由方程组确定的隐函数的情形， 我们首先要介绍雅可比行列式。 克莱满法则不记得，可看第二章书。 由学生自己写出雅可比行列式。 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程 1 空间曲线的切线与法平面 2 曲面的切平面与法线 五 思考判断题 隐函数显化。 不是任何一个方程都能确定隐函数，在一定的条件下方程才能确定隐函数。 该定理不予证明，因为超纲。 下面推导公式： 即， 等式两边对 x 求导， 现 这是关于 的 二元线性方程组。 方程组有唯一解。 类似，对 等式两边对 y 求导， 得关于 的线性方程组。 解方程组得 特别地，方程组 例5 设 解 1： 令 则 解 2： 方程两端对 x 求导。 注意： 即 得 即 解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法。 将所给方程的两边对 x 求导并移项: 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得 隐函数的求导法则 （分下列几种情况） 常用解法： 公式法 方程两边求导法 作业：151页 1 ,2,3(1~ 6)，4，5. 第六节 微分法在几何上的应用 一 问题的提出 二 空间曲线的切线与法平面 (Applications of differential calculus in geometry) 一 问题的提出 我们可以利用偏导数来确定空间曲线的 切向量和空间曲面的法向量 推导过程 二 空间曲线的切线与法平面 1 空间曲线 切向量： 切线方程： 法平面方程： (Tangent and normal plane of space curve) 解： 在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1 切线方程： 法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0 即： x + 2 y + 3 z = 6 例1 求曲线 在点 处的切线及法平面方程。 2 切线方程： 法平面方程： 切线方程： 法平面方程： 例2、求曲线 在点（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。 法平面方程： x - z = 0 切线方程： 1 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通过点M的曲线 (Tangent plane and normal line of surface) 令 则 切平面方程为 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 2 空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 切平面上点的竖坐标的增量 因为曲面在M处的切平面方程为 其中 解 切平面方程为 法线方程为 解 令 切平面方程 法线方程 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 问题 1 和问题 2 的方法可以推广到更一般的情形。 定理 (隐函数存在定理) 设 1. 2. 3. 其中， 方程组 则 在 内唯一确定一组函数 且 定义 隐函数的显化 问题2:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 问题1:隐函数是否可导? 二 隐函数求导法 解 直接对方程两边求导 例2 解 1 对数求导法 2 适用范围: 先在 两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出y的导数. 幂指函数求导： 例3 解 等式两边取对数得 例4 解 等式两边取对数得 消参数法 消参困难或无法消参的求导可用复合函数 求导方法 1 由参数方程确定的函数的定义 2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法 例如 由复合函数及反函数的求导法则得 例5 解:先求运动的方向 再求速度的大小 例6 解 所求切线方程为 例7 解 相关变化率解决的问题: 已知其中一个变化率时求出另一个变化率 例7 解 例8 解 隐函数求导方法: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两