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第四章 LTI连续系统的复频域分析 §4–1 拉普拉斯变换 例1．求下列常用单边信号的拉氏变换及其收敛域 §4–2 拉普拉斯变换的基本性质 作业： 4-1 （1）（3） 4-2 （1）（2） 4-4 （b）（e） 4-5 （2）（3） 例 §4–3 拉普拉斯反变换 二、部分分式展开法 三、留数法 课堂练习题 作业： 4-6 （2）（4）（6） 4-7 全部 其中（5）使用留数法 §4–4 线性系统复频域分析法 3、电感元件： 例: i(t) ＋ u(t) － L I(s) sL ＋ U(s) － I(s) sL ＋ U(s) － L2 M * L1 * i1 i2 4．耦合电感的s域模型 sL2 sM * sL1 * 当耦合电感为三端接法时的s域模型 L2 + u2 - M * + u1 - L1 * i1 i2 + u1 - i1 i2 + u2 - L1-M L2-M M L1-M L2-M sM - Mi1(0-) + - Mi2(0-) + - + + - 四、线性系统复频域分析法 复频域分析法步骤 1. 求换路前电路的状态 uC(0-)、iL(0-)； 2.求激励f(t)的象函数F(s)； 3.画出s域电路模型 (1)将电压源、电流源、各支路电压、电流及受控源表示成象函数形式。 (2)将各元件的参数表示成s域的阻抗或导纳形式。 (3)画出由uC(0-)、iL(0-)确定的附加电源或内激励。 4.用s域形式的各种分析法如等效变换、独立变量法(支路法，回路法，节点法)、叠加定理、戴维南定理等建立方程，并解出响应变量的象函数； 5.用求拉氏反变换的某种方法求出响应的时域表达式，必要时画出响应的波形。 图示电路，试求零状态响应uC1 、uC2 、u 0.2?(t)A 0.2F + uC1 - + uC2 - 0.3F 50? + u - 画出零状态s域电路模型 解： 0.2 + UC1(s) - + UC2(s) - 50 + U(s) - 由节点法： 拉氏反变换得 例:电路换路前已达稳态，求t0的全响应i2(t) . + 10V - 2.5 ? (t=0) S 2.5? * * 3H 3H 2H i1 i2 2.5 ? 例2 解：画出0-等效电路，有： + 10V - 2.5? 2.5 ? i1(0-) i2(0-) 2.5 ? F(s)通常为s的有理分式，一般形式为 总的思路： 有理假分式? 有理真分式? 最简分式之和?f(t) 按D(s) = 0的根(称为F(s)的极点)有无重根等分别讨论如下： 1．当m?n且为n个单根p1 , p2 , …, pn (可为实根、虚根或复根) 则有原函数 且针对共轭复根同样有如下结论和推论： 例：求 的原函数f(t) 解： 的原函数f(t) 解： 例:求 例3： 或者直接写出对应的原函数 然后用欧拉公式 2．当m?n且D(s) = 0有重根时： 不妨设根p1为r重根，其余(n-r)个根为单根pj(j=r-1, r-2, …, n)，则有理真分式F(s)可展开为 式中待定系数，同传输算子有 则有原函数 的原函数f(t) 解： 例:求 3．当m≥n时 长除法将有理假分式? (m-n)次多项式中的sl对应的原函数为冲激函数及其导数项? (l)(t) 多项式+有理真分式 的原函数f(t) 解： 例:求 （围线积分法） 拉氏反变换是一个复变函数的线积分 当F(s)为真分式时由复变函数中的约当辅助定理知此积分可转化为求F(s)全部极点pi 留数Res[pi]的代数和。 1.若pi为D(s)=0的单根[即F(s)的单极点，一阶极点]，则： 2.若pi为D(s)=0的r阶重根[即F(s)的r阶极点]，则： 当F(s)为假分式时长除法分解为多项式与有理真分式之和，多项式决定冲激函数及其导数项，再对真分式求留数决定其它项。留数法在含重根时，计算比部分分式法略为简单些。 的原函数f(t) 解法1 例:求 解法2：留数法 例： 解： 用欧拉公式合并 解： 例:用留数法求 的原函数f(t) 求下列象函数的拉普拉斯反变换。 (1) (2) (3) 将线性微分方程变为复频域的线性代数方程的同时系统的初始状态自然反映在象函数中，用s域分析法可直接求解全响应。 一、系统微分方程的复频域解 设n阶线性系统的激励为因果信号f(t)，响应为y(t)，则其微分方程的一般形式为： 两边取拉普拉斯变换，注意因果信