第四章数字特征1.pptVIP

第一节 数学期望 第二节 方差 七、小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征： 方差 方差的定义 方差的计算 方差的性质 切比雪夫不等式 课堂练习 小结 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 测量结果的均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差 能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量 来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度. 一、方差的定义 设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在 , 称 E[(X-E(X)]2 为 X 的方差. 记为D(X)，即 D(X)=E[X-E(X)]2 若X的取值比较分散，则方差D(X)较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差D(X)较小； 因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。 X为离散型， 分布率 P{X=xk}=pk 由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望 . 二、方差的计算 X为连续型，X概率密度f(x) 计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 利用期望 性质 例1 设随机变量X具有(0—1）分布，其分布率为 求D(X) . 解 由公式 因此,0-1分布 例2 解 X的分布率为 上节已算得 因此,泊松分布 例3 解 因此,均匀分布 例4 设随机变量X服从指数分布,其概率密度为 解 由此可知,指数分布 几个常用的随机变量的期望、方差 三、方差的性质 1. 设C 是常数, 则 D(C)=0 ; 2. 若 C 是常数, 则 D(CX)=C2 D(X) ; 3. 设 X 与 Y 是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 4. D(X)=0 P{X= C}=1 , 这里C=E(X) 下面我们证明性质3 证明 若 X,Y 相互独立, 由数学期望的性质4得 此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况. 例1 解 于是 例如, 例 解 由于 故有 二、选择题 二、选择题 * 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入： X的数学期望E(X) 若统计100天, 32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品; 可以得到这100天中 每天的平均废品数为 这个数能否作为 X的平均值呢？ （假定小张每天至多出现三件废品 ）