第四章数字特征.pptVIP

即 面积元素为 例2-续2 奇函数在对称区间上积分为零 分部积分 例2-续3 显然,独立一定不相关,但不相关却不一定独立。 特别值得注意的是:若(X,Y)服从二维正态分布,则 独立与不相关是等价的。 所以，X与Y的相关系数为： □ 最后,请注意正态分布的一些重要结论 。 例2-续4 ????????????????????? ????????????????????? ① P.140: 3; 6 ; 8; ② P.141: 9; 11 ; 12 ; 13 ; ③ P.142: 15; 16 ; 20 ; 本章作业 ④ P.143: 27; 29 ; ⑤ P.144: 31; 32 ; 33 ; 34 ; ⑥ P.145: 37 。 E(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8; E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4. 方法2(定义+性质法) 因为 E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2; E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8; 所以, E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4. □ 例6-续 显然, 由期望性质得: □ 例7-续 §2.方差 【引例1】评定棉花质量 纤维的长度是非常重要的指标，即抽检的棉花纤维的平均长度愈长愈好。但是，我们不希望有些纤维的特别短，有些纤维特别长，而希望纤维的长短比较接近，即每根纤维的长度与均值的差愈小愈好。 因此，在考察一个随机变量时，既要注意其取值的平均值[由期望刻画]，也要注意其取值的离散程度，即与均值的偏离程度[由方差刻画]。 【引例2】评估考试成绩 平均成绩在一定程度上反映了一个班的学习情况，但在两个平均成绩相同的班级之间又该如何评比呢？当然，其中学生间成绩比较接近者可认为总体成绩好些。 一、概念 定义2 随机变量X的方差记为D(X),或Var(X),定 义为 其中数学期望存在. (4) 在应用上还用到与X具有相同量纲的量 称之为随机变量X的均方差(标准差). 方差D(X)是反映X取值分散程度的量,当X取值比 较集中时,方差较小;当X取值比较分散时,方差较大. 由数学期望性质与方差定义可得: (6) 这也是计算方差的常用公式. 显然, 方差D(X)就是随机变量X的函数 的数学期望.因此,当X的分布律 或概率密度 已知时,有 (5) 续 【例8】[P.122:eg3] 〖解〗 【例8】设X服从参数为p的几何分布,其分布律为 又 求其期望与方差. 故 □ 【例9】 【例9】设随机变量X的概率密度为 〖解〗期望为 求其期望与方差. 二.性质 方差具有如下性质:设X,Y为随机变量,c为常数,则 ? D(c)=0; ? D(cX)=c2D(X); ? D(X+c)=D(X); ?当X,Y相互独立时,D(X±Y)=D(X)+D(Y); 【证】只证4。 D(aX+b)=a2D(X) ?D(X)=0的充要条件P{X=C}=1,其中C=E(X). 由于X,Y相互独立,故可以证明X-E(X),Y-E(Y)也 相互独立。于是，由数学期望的性质得： 从而，有 □ 续 P.87:定理 【例10】设X1,X2,…,Xn相互独立,且服从同一个 (0-1)分布,其分布律为 〖解〗X的所有可能取的值为0,1,2,……,n. 【例10】 证明 并求E(X),D(X). 事件{ X=k}是 个互斥基本事件的和事件,且其中每个基本事件为“从n个格子中取出k个放入1,其余放入0”.由独立性易知:每个基本事件的概率为 故 从而, 因为 [0-1分布],所以 由期望与方差性质得: □ 续 契比雪夫不等式给出了在未知X分布的情况下, 估计事件{|X-μ|ε}概率的方法.在上式中分别取 ε=3σ,4σ得 由对立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一 形式: §3.常见重要分布的期望与方差 一、二项分布 设X服从参数为n,p的二项分布B(n,p),则其分布律为 在§2例10中已经求得 设X服从参数为λ的二项分布P(λ),则其分布律为 二、泊松分布 由幂级数展开式 与期望、方差 定义得 故 设X服从参数为μ,σ2