第四章矩阵.pptVIP

* 东北大学秦皇岛分校 高等代数 * 第四章 矩阵 第四章 矩阵 1、矩阵概念的一些背景 矩阵是线性代数中最基本的概念之一，也 是解决数学问题和实际问题的一个强有力武器. 矩阵在密码学中的应用实例 古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码：在保留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下，把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第4个字母。人们为了纪念恺撒德，就把这种密码称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷，即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密文出现的频率是相通的。1929 年，Hill 提出了一种克服恺撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新阶段。 化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但是 有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。 定义 化学反应中每一个化合物含有它 们所有的每一种原子的个数，排列成的数 字表称为化学反应矩阵。 定义1 由 个数 排成的 行 列的数表 称为 矩阵. 矩阵的定义 简记为 例1 是一个 实矩阵, 是一个 复矩阵, 例2 n维向量也可以看成矩阵的特殊形式： n维行向量就是1×n矩阵；n维列向量就是n×1矩阵。 设A＝(aij)mn，B＝(bij)lk，如果m＝l，n＝k，且对于i＝1,2,…,m； j＝1,2,…,n, 都成立， 称A＝B。 如 是一个 矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵. 例4 2、矩阵的运算 1、加法 定义1 设 则 称为A和B的和，记为C＝A+B。 注 1）矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加 的矩阵必须要有相同的行数和列数 2）矩阵加法满足 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C； 交换律： A+B=B+A。 3）元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为Osn或O。 对于所有的矩阵A，都有A+O＝A。 4）矩阵 称为矩阵A的负矩阵，记为-A。则有A +(-A)＝ O 。 5）矩阵的减法定义为 A－B＝A＋(-B) 6）秩( A＋B) ≤秩(A)＋秩(B) 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 例1 引例 1 变量组之间的关系 设有三组变量 x1 , x2 , x3 , x4 、 y1 , y2 , y3 、 z1 , z2 ，它们之间的关系分别为 2、乘法 求 x1 , x2 , x3 , x4 与 z1 , z2 之间的关系. 把 (2) 代入 (1) ，得 如果用 来表示 x1 , x2 , x3 , x4 与 z1 , z2 之间的关系，比较 (3) ，(4) 两式，就有 引例 2 总收入与总利润 设某地区有甲、乙、丙三个工厂, 每个工厂都 产 品 工 厂 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 甲 乙 丙 20 30 10 45 15 10 70 20 20 15 35 25 产量(单位: 个) 如下表所示: 生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4 种产品.已知每个工厂的年 已知每种产品的单价 ( 元/个 ) 和单位利润(元/个)如下表所示: 项 目 产 品 单 价 单位利润 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 100 20 150 45 300 120 200 60 求各工厂的总收入与总利润. 解 容易算出各工厂的总收入与总利润, 也 项 目 工 厂 总收入 总利润 甲 乙 丙 15500 5650 28000 10350 19750 6775 本例中的三个表格可用三个矩阵表示, 设 可以列表如下: 定义2 设 ，那么矩阵 其中 称为A与B的乘积，记为 例１ 注 1）两个矩阵相乘，必须第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等。 2）计算法则：两个矩阵A与B乘积的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二