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第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 几个服从常用分布的随机变量的数学期望 定理：设Y = g(X)是 r.v.X 的函数，(其中g(·)是连续函 数) 数学期望的性质 课 外 习 题 第二节 方差 方差D(X)还可按下列公式计算： 方差的性质 几个服从常用分布的随机变量的方差： 定理: (切比雪夫不等式) 例： 已知某车间一周产值为均值是60万元的随机变量。若周产值的方差为5万元，试估计周产值在50万元到70万元之间的概率。 课 外 习 题 第三节 协方差及相关系数 定义： 易证协方差具有下列性质： 下面我们推导 的两条重要性质，并由此说明 的含义。 课 外 习 题 第四节 矩、协方差矩阵 不等式 成立。 上述不等式也可写成： 证： 如X是离散型随机变量，其概率分布律为： 现证明离散型的情形。 则 解： 设X表示车间的周产值，则： 要估计的是 利用切比雪夫不等式有： 故周产值在50万元到70万元之间的概率至少为0.95 第 96 页 13，14 两个随机变量除了相互独立之外，还存在不 相互独立的情况，即它们之间存在一定的相关关 系。但怎样刻划它们之间相关程度呢？ 从前面的讨论可见，若X与Y 独立，则 这意味着，如 则X与Y 不相互独立，而存在一定的相关关系。 为此，我们有： 称为随机变量 X与Y 的协方差。 记为 Cov (X,Y) 为随机变量X与Y 的相关系数。 对任意两个随机变量X与Y ，显然有： 对于随机变量X和Y，现以X的线性函数a+bX 来近似表示Y ，其近似的好坏程度以均方误差 来衡量, e越小, 表示a+bX 与Y的近似程度越好。 现用高等数学中求极值的方法求a,b, 使e取到最小。 为此，将e分别关于a，b求偏导，并令它们等于0， 得： 由此得： 定理： （证明参见教材第130页） 从 式可见，均方误差e是 的严格单调 减少函数。 当 较大时，e较小，表明 X, Y (就线性关 系而言)联系较紧密。 特别当 时，由定理知X, Y 间以概率1 存在着线性关系，于是 是一个可用来表示X， Y之间线性关系紧密程度的量。 当 较大时，我们通常说 X, Y 线性相关的 程度较好，反之，则较差。 特别当 时，称X和Y不相关(不存在线性 关系)。 不相关仅指不存在线性关系，并不意味着独立，它 们之间还可能存在非线性关系。 则当X，Y相互独立时，由均值的性质4及协方差 的计算公式得 从而 即X，Y 不相关。 反之，不成立。即若X，Y 不相关， X 和Y却 不一定相互独立。 独立 不相关 例：设随机变量 (X,Y) 的分布律为： 验证 X和Y 是不相关的，但 X和Y 不是相互独立的。 解： 所以 X和Y 不相关。 而 所以X和Y 也不相互独立。 * * 前面我们讨论了随机变量的概率分布。对于 一个随机变量来说，知道了它的概率分布也就知 道了它的全部统计特征。然而在许多实际问题中， 随机变量的概率分布往往不易求得，也有不少实 际问题并不要求我们知道随机变量的全部统计特 性。如要比较电子元件的寿命，但寿命的长短不 能一个一个进行比较，而是用它们的寿命的平均 值来作比较；其次要比较各个元件的寿命的“离散 程度”，离散程度大，说明生产不稳定，反之，说 明生产比较稳定。 平均寿命和离散程度虽然不能全面地描述“元件寿命”这个随机变量的全部统计特性，但是它们都是随机变量的主要统计特征。 随机变量的这些统计特征通常用数字来描述。这些用来描述随机变量统计特征的数字，称为随机变量的数字特征。 在随机变量的数字特征中，最常用 的有：数学期望（均值）、方差、相关 系数和矩。 对于随机变量，时常要考虑它平均取什么值。 先来看一个例子：一批钢筋共有10根，抗拉强度指 标为120和130的各有2根，125的有3根，110，135， 140的各有1根。 则它们的平均抗拉强度指标为： 从计算中可以看到，平均抗拉强度指标并不 是这10根钢筋所取得的 6 个值的简单平均，而是 以取这些值的次数与试验总次数的比值（即频率） 为权数的加权平均。 在第五章中，我们将证明当试验次数很大时， 频率很接近于概率。从而，我们有： 定义： 定