第讲二次曲面.pptVIP

建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 1. 椭球面 2. 抛物面 3. 双曲面 (2) 双叶双曲面 4. 椭圆锥面 2. 二次曲面 * 淮南矿业技师学院《应用数学》课件 * 淮南矿业技师学院《应用数学》课件 运行时, 点击“椭球面”,“抛物面”, “双曲面”, “椭圆锥面” 可显示有关内容. 第8讲---二次曲面 一、曲面的方程 二、常见的曲面的方程: 三、一般二次曲面 学习目标 1．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形. 2．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形. 重 点 难 点 几种二次曲面的标准方程及其图形. 球面、柱面和旋转曲面的概念 曲面及其方程的关系 几种二次曲面的标准方程及其图形. 一、曲面的方程 在空间直角坐标系中，任取曲面都可以理解为满足一定条件的点的几何轨迹．设曲面上动点P的坐标为(x,y,z)，由这一条件或规律就能导出一个含有变量x,y,z的方程F(x,y,z)=0 在一般情况下，如果曲面S与方程 （1） 有下面的关系： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）， 那么方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的图形． 象在平面解析几何中把平面曲线当作动点轨迹一样，在空间解析几何中，我们常把曲面看作一个动点按照某个规律运动而成的轨迹． 二、常见的曲面的方程: 1．球面 在空间中到定点的距离等于定值的点的轨迹称为球面，定点叫做球心，定值叫做半径． 例1：建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程. 解：设M(x,y,z)是球面上的任一点，那么｜M0M｜=R，故有 即 这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程。 所以 就是球心在点、半径为R的球面的方程 ? 　　特别地 球心在原点O(0 0 0)、半径为R的球面的方程为： 例2：方程 表示怎样的曲面？ 解：通过配方，原方程可以改写成 这是一个球面方程，球心在点（1，-2，0）、半径为 一般地 设有三元二次方程 这个方程的特点是缺xy、yz、zx 各项，而且平方项系数相同，只要将方程经过配方就可以化成方程： 的形式，它的图形就是一个球面． 例1是从已知点的轨迹建立曲面方程的例子，例2是由已知间方程研究它所表示的曲面的形状的例子． 　以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，x、y、z变量间的方程通常表示一个曲面．因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下面两个基本问题． （1）已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程． （2）已知坐标x、y、z间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面形状． 2．柱面 　　动直线L沿给定曲线C平行移动所形成的曲面称为柱面，这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线，如图所示． 例3：方程 在空间表示怎样的曲面？ 解：方程 在xOy面上表示 圆心在原点O、半径为R的圆． 　在空间直角坐标系中,这方程不含竖坐标z,即不论空间点的竖坐标z怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这方程,那么这些点就在这曲面上．也就是说，过xOy面上的圆x2+y2=R2，且平行于z轴的直线一定在表示的曲面上．所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线L沿面上的圆移动而形成的（如图所示），xOy面上的圆x2+y2=R2叫做它的准线,这平行于z轴的直线L叫做它的母线． 　　上面我们看到,不含z的方程x2+y2=R2在空间直角坐标系中表示圆柱面,它的母线平行于z轴,它的准线是xOy面上的圆x2+y2=R2． 　　一般地,只含x、y,而缺z的方程F(x,y)=0,在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面,其准线是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0. ? 例如,方程y2=2x表示母线平行于z轴的柱面,它的准线是xOy面上的抛物线y2=2x，该柱面叫做抛物柱面(如图所示）。 　　又如，方程x-y=0表示母线平行于z轴的柱面,其准线是xOy面的直线x-y=0,所以它是过z轴的平面． 　　类似地,只含x、z而缺y的方程G(x,z)=0,和只含y、z而x缺的方程H(y,z)=0分别表示母线平行y于轴和x轴的柱面． 　　例如,方程x-z=0表示母线平行于y轴的柱面,其准线是xOz面上的直线x-z=0,所以它是过y轴的平面． 例如 : 3．旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴． 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋