第讲抽象函数.pptVIP

* 能利用幂函数型、指数函数型、 对数函数型抽象函数的解析式 来研究该函数的基本性质. 1.了解函数模型的实际背景． 2．会运用函数的解析式理解和 研究函数的性质. 考纲研读 考纲要求 第7讲 抽象函数 　　1．满足解析式f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)的是正比例函数型抽象函数． 　　2．满足解析式f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)的是对数函数型抽象函数． 　　3．满足解析式f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)的指数函数型抽象函数． 1．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则 f(x) 是( ) A A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 2．函数 f(x)满足 f(x)·f(x＋2)＝13，若 f(1)＝2，则 f(99)＝( ) A．13 B．2 13 C. 2 2 D. 13 C 3．设奇函数 f(x)满足：对?x∈R 有 f(x＋1)＋f(x)＝0，则 f(5) ＝____. 0 4．已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数，对 x∈R 都有 f(2＋ x)＝f(2－x)，当 f(－3)＝－2 时，f(2 013)的值为_____. －2 5．已知函数 f(x)的定义域为 R＋，并且对任意正数 x，y 都有 f(xy)＝f(x)＋f(y)，则 (1)f(1)＝____； 0 1 2 考点1 　正比例函数型抽象函数 例1：设函数 f(x)对任意 x，y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 且 x0 时，f(x)0，f(1)＝－2. (1)求证：f(x)是奇函数； (2)试问在－3≤x≤3 时，f(x)是否有最值？如果有求出最值； 如果没有，说出理由． 解：(1) 令x＝y＝0， 则有f(0)＝2f(0)?f(0)＝0. 令y＝－x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)． 即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数． (2) 任取x1x2，则x2－x10?f(x2－x1)0. 且f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)0. ∴f(x1)f(x2)．∴y＝f(x)在R上为减函数． 因此f(3)为函数的最小值，f(－3)为函数的最大值． f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6. ∴函数最大值为6，最小值为－6. (1)正比例函数型抽象函数的一般步骤为 f(0)＝0 ?f(x)是奇函数?f(x－y)＝f(x)－f(y)?单调性． 　　(2)小技巧判断单调性：设x1x2，则x2－x10?f(x2－x1)0?f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)f(x1)，得到函数单调递减． 【互动探究】 1．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则下 列错误的是( ) D 考点2 　对数函数型抽象函数 (1)求证：f(x)是偶函数； (2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式 f(2x2－1)2. 　　例2：已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1时f(x)0，f(2)＝1. 解：(1) 对定义域内的任意x1，x2都有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x，x2＝－1， 则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)． 证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结 合比较法(作差法、作商法)，函数的单调性是比较大小的常用方法． 运用不等式性质时应从结论出发，寻找解题的切入点． 【互动探究】 当 f(x)＝lgx 时，上述结论中正确结论的序号是_____. ②③ 考点3 　指数函数型抽象函数 例3：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x＞0 时，f(x)1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)． (1)求证：f(0)＝1； (2)求证：对任意的 x∈R，恒有 f(x)＞0； (3)求证：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)＞1，求 x 的取值范围． *