第讲数学归纳法.pptVIP

* 1.数学归纳法证明命题，格式严谨， 必须严格按步骤进行； 2．归纳递推是证明的难点，应看准 “目标”进行变形； 3．由 k 推导到 k＋1 时，有时可以 “套”用其他证明方法，如：比较法、 分析法等，表现出数学归纳法“灵 活”的一面. 1.掌握“归纳－猜想－证 明”这一基本思路． 2．了解数学归纳法的基本 原理． 3．能利用数学归纳法证明 与自然数有关的命题. 考纲研读 考纲要求 第3讲 数学归纳法 1．运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是___________ __________，第二步是______________________，两步缺一不可． 2．用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其 中包括___________________________________________________． 归纳递推(或归纳假设) 恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等 归纳奠基(或 递推基础) 1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证 ( ) C A．n＝1 时成立 B．n＝2 时成立 C．n＝3 时成立 D．n＝4 时成立 解析：多边形至少有三边． 时，在第二步证明从 n＝k 到 n＝k＋1 成立时，左边增加的项数是 ( ) A．2k B．2k－1 C．2k－1 D．2k＋1 A 3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n＋1 边形有对角线数 f(n＋1) 为( ) C A．f(n)＋n＋1 C．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n D．f(n)＋n－2 解析：在n个顶点的基础上增加一个顶点则增加n－1 条对角 线． 4．设平面内有 n(n≥2)条直线，其中任意两条不平行，任意 ) 三条不过同一点，则它们的交点的个数 f(n)为( A．n(n＋1) B．n(n－1) D 1 4n2－1 猜想 an 的表达式，其结果是_________. 考点1 对数学归纳法的两个步骤的认识 例1：已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n＝ ) k(k≥2 且为偶数)时命题为真，则还需证明( A．n＝k＋1 时命题成立 B．n＝k＋2 时命题成立 C．n＝2k＋2 时命题成立 D．n＝2(k＋2)时命题成立 解题思路：从数学归纳法的两个步骤切入，k 的下一个偶数是 k＋2. 解析：因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k＋2.故选B. 答案：B 用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个方面： (1)n 的范围以及递推的起点；(2)观察首末两项的次数(或其他)，确 定n＝k 时命题的形式f(k)；(3)从 f(k＋1)和f(k)的差异，寻找由k 到k＋1 递推中，左边要加(乘)上的式子． 【互动探究】 1．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＝ 1－an＋1 1－a (a≠1，n∈ ) B N*)时，在验证 n＝1 时，左边计算所得的式子是( A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a4 解析：n＝1 时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边 是1＋a. ＋ n＋n 24 2．用数学归纳法证明不等式 1 1 n＋1 n＋2 ＋…＋ 1 13 的过 程中，由k推导到k＋1 时，不等式左边增加的式子是___________. 解析：求f(k＋1)－f(k)即可．当n＝k时，左边＝ ＋ ＋ 增加的式子是 ＋ － ，即 1 1 k＋1 k＋2 ＋… ＋ 1 k＋k ·n＝k＋1 时，左边＝ 1 1 k＋2 k＋3 ＋…＋ 1 (k＋1)(k＋1) .故左边 1 1 1 2k＋1 2k＋2 k＋1 1 (2k＋1)(2k＋2) . 1 (2k＋1)(2k＋2) 考点2 用数学归纳法证明恒等式命题 解题思路：从特殊入手，探求a，b，c 的值，考虑到有3 个 未知数，先取n＝1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一切 n∈N*，等式都成立． (k＋1)(k＋2) ＝ 12 [3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]． ∴当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)(2)，对n∈N*等式都成立． 这是一个探索性命题，“归纳—— 猜想—— 证 明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式. 对于探索命 题特别有效，要求善于发现规律，敢于提出更一般的结论，最后 进行严密的论证．从特殊入手，探