第讲空间中角与距离的计算.pptVIP

* 第7讲 空间中角与距离的计算 1.线线垂直、两异面直线的夹角、两 点间的距离等问题的解决往往借助 于向量坐标．正方体、长方体、底 面有一角为直角的直棱柱、底面为 菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出 现三条两两垂直直线的图形，常常 考虑空间直角坐标系． 2．能较易建立直角坐标系的，尽量 建立直角坐标系．其次要注意向量 运算与基本性质相结合的论述，这 是今后的方向，可以“形到形”， 可以“数到形”，注意数形结合. 空间向量的应用 (1)理解直线的方向向量与平 面的法向量． (2)能用向量语言表述直线与 直线、直线与平面、平面与 平面的垂直、平行关系 (3)能用向量方法解决直线与 直线、直线与平面、平面与 平面的夹角的计算问题，了 解向量方法在研究几何问题 中的作用. 考纲研读 考纲要求 1．异面直线所成的角 锐角或直角 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a′与 b′. 那么直线 a′与 b′所成的____________，叫做异面直线a与b 所 成的角，其范围是_____________． (0°，90°] 2．直线与平面所成的角 (1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的 角等于_____. 0° (2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于____. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线 与平面所成的角，其范围是_____________． (0°，90°) 90° 斜线与平面所成的_______是这条斜线和平面内经过斜足的 直线所成的一切角中最___的角． 线面角 小 3．二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角．从二 面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角 的二面角叫做___________． 直二面角 4．点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距 离．求点到平面的距离通常运用_______，即构造一个三棱锥，将 点到平面的距离转化为三棱锥的_____． 等积法 高 5．直线与平面平行，那么直线任一点到平面的距离叫做这条 直线与平面的距离． A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B C 3．在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AC，BD 的中点， 若 CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则 EF 与 CD 所成的角为( ) A．90° B．60° C．45° D．30° D 4．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两 平面所成的二面角为___________. 45°或 135° 5．如图 13－7－1，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC ＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_______. 图 13－7－1 考点1 线面所成角的计算 例1：如图 13－7－2，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD， △ACD 为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F 为 CD 的中点． (1)求证：AF∥平面 BCE； (2)求证：平面 BCE⊥平面 CDE； (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成 角的正弦值． 图 13－7－2 图D32 求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法： ①传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与 平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小．找射影的 基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直 线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平 面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即 为射影． ②空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利 用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角． 【互动探究】 1．(2010 年全国)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1 所成角的余弦值为( ) 答案：D 考点2 面面所成角的计算 例 2：(2011 年全国)如图 13－7－3，四棱锥 P－ABCD中，底 面ABCD为平行四边形,∠DAB＝60°,AB＝2AD,PD⊥底面ABCD. 图 13－7－3 (1)证明：PA ⊥BD； (2)若 PD＝AD，求二面角 A－PB－C 的余弦值． 图D33 求二面角，大致有两种基本方法： (1)传统立体几何的综合推理法：①定义法；②垂面法；③三 垂线定理法；④射影面积法． (2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求 出两个平面的法向量，通过求两个法向量