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約制方程式 約制方程式的推演 控制點坐標的平差 約制方程式 前言 控制點坐標的平差 三邊測量平差中固定控制點坐標與線段方向 Helmert’s法 約制平差的多餘觀測 以加權強制約制 前言 在平差中，有時需將觀測量的值固定。 如固定控制點的坐標，此情形稱為約制平差。 又如將某線段的方向與長度固定，或是在水準測量時，兩點的高差固定；都屬於約制平差。 控制點坐標的平差 前面幾章中，平差時並不包含控制點坐標，即控制點坐標固定，因此是進行約制平差。 在此平差中，觀測量被強制去符合控制點。 然而，控制點並非完美，且所有控制點也非具有相同的可靠度。 平差時，若有多於最小控制的控制點被固定，則觀測量將被強制去符合這些控制點。 如，兩個控制點坐標被固定，但它們的實際位置與由坐標反算的值並不一致，則觀測量將被平差去吻合這個錯誤的控制點。 此作法將導致平差後的殘差太大。 較佳的作法是，根據控制點坐標的品質，將其加入平差。 控制點坐標的平差 控制點坐標的觀測方程式 平差時，若要將控制點加入平差，則每一控制點都將有一對此觀測方程式。 若要固定控制點，則將其坐標的權加大，反之，則減小其權。 透過適當的權調整，所有控制點都可依據其精確度的水準加入平差行列。 三邊測量平差中固定控制點坐標與線段方向 在例13.2中，控制點被固定。此作法可經由令dx與dy的係數為0，輕易做到。 在此例中，因其中一個端點被固定，故每個觀測方程式中僅有兩個未知數。 此種將控制點固定的方法稱為約制消去解法。 以矩陣來表示則為 三邊測量平差中固定控制點坐標與線段方向 圖19.2為以約制方程式分割A、X與L矩陣。C矩陣為約制方程式的係數矩陣，被分割成C1與C2。 A、C與X被分割成兩個矩陣方程式，分別以約制與無約制的觀測量來區隔。 分割時要注意不可讓C1矩陣成為奇異矩陣。 若為奇異矩陣，則必須決定新的約制方程式。 然約制方程式數量不能太大。 三邊測量平差中固定控制點坐標與線段方向 由(19.6)式可解得X1。 再代入(19.5)式後可解得X2。 再由X2來求解X1。 在約制消去解法中，約制方程式是用來消去平差時的未知參數。因此，在平差時固定了特定的幾何條件。 以約制消去固定線段方向 此法是先列出約制方程式，再代入觀測方程式中，即可消去未知參數。 以右圖來說明，因為IJ方向固定，因此J點的在平差時，被限制在IJ的方向上，其關係式如右 以約制消去固定線段方向 右圖在三邊測量平差時，固定AB的方向。 AB的距離方程式則變為(19.12)式 將約制方程式代入即可消去一個未知參數dxb Helmert’s法 另一介紹約制方程式的方法是由F. R. Helmert在1872年提出。 此法是將約制方程式加到約化法方程式的邊緣。 先利用前面12至18章的方法建立法方程式，再建立約制觀測方程式，並將其加到法方程式中，使其成為增加的列(C)與行(CT)，同時將其約制值加到常數矩陣中(L2)。 約制逐差水準測量平差 圖19.5水準網中各水準路線的觀測值如表所示。其中B到E的高差固定為-17.60ft，而A點高程為1300.62ft。 網形中約制線段方位 圖19.6網形中，AB線段的方向角保持在N0°04’E，觀測資料如下所示。Helmert’s法可用來約制此線段的方位。 以最小自乘法進行平差此網形。 約制平差的多餘觀測量 因約制方程式可減少未知參數，故可增加平差時的多餘觀測量(自由度)。自由度的計算式如下 r = m – n + c 在例19.2中，m=7、n=4、c=1，故r=4。 此例中若無約制方程式，則r=3。因此，約制方程式可增加自由度。 在平差中加入約制條件時，應小心為之。 可加入的約制數量最大為未知參數的數量，但如此一來，將固定所有的未知參數，而導致平差無效，浪費時間。 加入的約制可能在數學上並非獨立方程式，在此情況下，即使平差有解，而兩個相依的方程式僅能減少一個未知參數，故自由度僅增加1。 以加權強迫約制 在最小自乘法平差中，對要約制的觀測量加重給權(與其他觀測量相較，明顯地增加權值)，可避免上述處理約制方程式的方法。 在例15.2中，就是以這種方式來固定一個線段的方向。 例19.3中，平差時在觀測方程式組中，加入AB方位角以及控制點A的坐標等觀測方程式。 這些觀測量是經由指定AB方位角的標準差為0.001”，以及控制點A坐標的標準差為0.001ft等方式來固定。 此例子解算第一次迭代的J、K與W矩陣如下： * * 平差後的控制點坐標 已知的控制點坐標 例19.1 注意： J矩陣的最後四列即為控制點的觀測方程式。每個點有兩個觀測方程式。 X矩陣則相應地增加四個改正數：dxA, dyA, dxC, dyC。 K矩陣則增加了四個觀測量。 多餘觀測量(自由度)則維持不變。 權矩陣的構成必須知道控制點坐