线性代数综合练习题三.pptVIP

* * 线 性 代 数 综 合 练 习 题 （三） 一、填空题： ； 解：把行列式按第一列展开 第一个行列式按第三行展开，第二个行列式按第一行展开， 2、设A为四阶方阵，且R（A）=2，则 ； 解：因为A为四阶方阵，且秩为2，所以A的任何3阶子式为零，而A的伴随矩阵 的元素为A的3阶子式，故 为零矩阵，所以 0。 3、设向量组 的秩为2，则t= ; 解： 对下面矩阵施行初等行变换 因为 的秩为2，所以A的秩也为2，故 4、已知n 阶可逆阵A的任意行和等于2，则 的一个特征值为 ； 解：因为A的任意行和为2，所以 即2为A的一个特征值， 为对应的特征向量， 所以5为 的一个特征值 。 5、设A，B均为n阶方阵，且 则 。 解： 所以答案为 二、选择题 1. 设 线性相关 线性无关, 则正确的结论是 线性相关 线性无关 线性表示 线性表示 答: 正确的结论为C. 2、设 为正定二次型，则 t 的取值范围 解：因为f为正定二次型，所以二次型矩阵A为正定矩阵，故A的行列式大于零，即 解得 所以选(c). 3、设A为 矩阵，B 为 矩阵，则下面结论正确的是。 解：因为AB为m阶方阵，当 时，有 所以选(b). 4、A为n阶方阵，则 必为 正交阵； (b) 对称阵; (c) 可逆阵； (d) 正定阵。 解： 所以 为对称矩阵。 5、设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则下面结论正确的是 (a) ACB=E; (b) CBA=E; (c) BAC=E; (d) BCA=E. 解：因为ABC=E，所以A可逆， 且A的逆矩阵为BC，因此有 BCA=E，故选(d). 6、已知A为正交矩阵，则 为 (a) 1 ; (b) -1; (c) 0 ; (d) –1 或 1。 解：因为A为正交矩阵，所以有 即 故选(d). 1. 设三阶矩阵 其中 均为三维行向量.且 求 解: 三，计算下面各题： 2、验证 是 的一个基， 并将 用该基线性表示。 解： 因为 是三个三维向量，故只需证明它们线性无关即可，也就是由它们为列构成的矩阵 A与单位矩阵E等价，而 由它们线行表示，就是求方程组 的解 ，因此对矩阵 施行初等行变换 所以 线性无关， 即为 的一个基，且 由 线性表示为 3、四元非齐次线性方程组AX=b,且 R(A)=2,已知 是它的三个解向量，求其通解。 其中 解： 由于非齐次线性方程AX=b,为四元，且 R(A)=2,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有两个解向量， 为AX=b的解， 为AX=b的一个特解， 为方程组AX=0的两个解，且是线性无关的，所以可以作为基础解系，因此非齐次线性方程组的通解为 (其中 为任意实数) 4、设二阶方阵A满足 求An。 解：由已知得 5、设向量组A： 求：秩 及一个 极大无关组(写出计算过程)。 解：由 为列构成矩阵A，并对其施行初等行变换， 所以，秩 为3， 为一个极大无关组。 四、设线性方程组 判断其相容性，若相容，求出其所有解。 解：对增广矩阵B=(A b)施行初等行变换 可知R(A)=R(B)=3,所以方程组是相容的，其同解方程组为 取 为自由未知量，得方程组的所有解为 (其中 c 为任意实数)。 五、设方阵 问：A是否可以对角化，若 可以，求出一个正交阵，使其化为对角阵。 解：因为A是一个实对称矩阵，所以必存在一个正交矩阵P，使 即A能对角化； 解特征方程