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统计物理
(1) 最概然速率(最可几速率) --- f(v)-v曲线极大值所对应的速率 vp vp 的物理意义: vp 附近概率密度最大 (同样速率间隔dv, 速率在 vp -- vp+ d v 的分子数最多) 由 及 v v2 v~v+dv o f (v) v1 (2) 由 同理, 3 三种速率 v o f (v) (2)平均速率 (3)方均根速率 vp 可以看出 2. 同一温度下,不同物质三种速率均与 成反比。 分子质量越小,速率越大,分布曲线右移。 1. 对同一种气体, 三种速率均与 成正比; 温度越高,分子各种速率均增加,曲线右移。 Ⅰ Ⅱ v f(v) Vp1 Vp2 0 物理意义? 速率大于V1的速率平均值 由 例 练习: 用总分子数 N , 气体分子速率 v 和速率分布函数 f (v) 表示下列各量: (1) 速率大于 v0 的分子数 = (2) 速率大于 v0 的那些分子的平均速率 (3) 多次观察某一分子的速率,发现其速率大于 v0 的几率 = = 例 有N个粒子,其速率分布曲线如图所示,当v2v0时,f(v)=0 (1)求常数a;(2)求速率大于v0和小于v0的粒子数;(3)求粒子平均速率 f(v) v 2v0 v0 O a 解:由速率分布曲 线得速率分布函数 f(v)= (1)由归一化条件 (2)速率大于v0的粒子数N1为: f(v) v 2v0 v0 O a 也为面积 速率小于v0的粒子数N2为: (3)粒子的平均速率为: 玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式 外力场中, 粒子在 速度在 的分子数 对所有速度积分, 由速度分布函数的归一化条件, 得 得体积元dxdydz内的总分子数: 气体分子按能量的分布规律(玻尔兹曼能量分布律) 用空间粒子数密度表示: n0为 Ep =0 处的粒子数密度 重力场中 重力场中粒子按高度的分布 -- 恒温气压公式 空气密度 气体压强 可以看作单位面积上空气柱重量 由 重力场中粒子按高度的分布 另一种推导方法: 21.5 能量均分定理 理想气体的内能 自由度: 气体分子: 单原子(看作质点)? 3个平动自由度 双原子 ? 3个平动自由度(质心), 2个转动自由度(联接方式) 刚性 ? 5个自由度(无振动) 非刚性? 6个自由度 (1个振动自由度) 确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数 o x y ? ? ? z ? C(x,y,z) 多原子?3个平动自由度, 3个转动自由度,若干个振动自由度 o x y ? ? ? z ? C(x,y,z) 能量均分定理 在温度为 T 的平衡态下, 分子每一个可能的自由度都占有相同的平均动能,都等于 kT/2 。 ------- 能量均分定理 理想气体的平均平动动能为 在平衡状态下,由于分子的无规则运动,任何一种可能 的运动都不会比另一种可能的运动更占优势,上述结果推广 到转动和振动,故有: 平动动能对应质心的运动,它有三个自由度,所以每个 自由度上的能量平均为 KT/2。 理想气体内能 1mol理想气体内能为: 质量为 M 的理想气体内能为: 设分子有 t 个平动自由度, r 个转动自由度, s 个振动自由度, 由于每个振动自由度又占有振动动能和振动势能 2 份能量 , 该分子的平均总能量为: ( i= t + r + 2s ) 对于理想气体分子 (刚性分子 S = 0 ) 单原子 双原子 多原子 例 能量按自由度均分原理的内容是什么?试用分子热 运动的特征来说明这一原理,并论证质量为 M 的理想气体,在 温度为 T 的平衡态下,其内能为 答: 1) 原理内容:在温度为 T 的平衡态下, 分子每一个可能的自由度都占有相同的平均动能,都等于 kT/ 2 。 根据热运动的基本特点是无规则运动,任何一种可能的运动都不会比另一种可能的运动占优势,平均说来,相应于每一个可能的自由度的平均动能都应相等。 平动自由度为 3,故每个自由度能量为 kT/2 。 2) 设每一分子的自由度为 i,则其平均动能为 已知分子的平均平动动能为 理想气体的内能即为气体分子的平均动能的总和。 故 1mol 气体的内能为 质量为 M 的理想气体的内能为 例 用绝热材料制成的一个容器,体积为 2V0 ,被绝热板 隔成 A, B 两部分,A 内储有 1mol 单原子理想气体,B 内储有 2mol 双原子理想气体
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