群置换循环.pptVIP

* * 第四章 Polya计数定理 4.1 群、置换、循环 4.2 Burnside引理和Polya定理 4.1 群、置换、循环 群的概念 置换群 循环 考虑下面的计数问题：把一个2?2的方格棋盘用蓝或白两色涂色，如果棋盘可以随意转动，问有多少种不同的涂色方案？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若棋盘固定不动，有24=16种不同的涂色方案。 但当棋盘可转动时，其中的一些方案可以变成另一些方案。 1. 群的概念 群论是现代数学非常重要的分支，群论产生的开 端非常平凡，但是群论的创立者却充满了传奇。 是二次方程 的求根公式。 我们熟知的公式 人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式。 公元前1600年的巴比伦数学家已知道如何解二次方程，尽管他们没有使用我们现在的代数符号去表达方程及其解。 形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求根公式直至 16世纪才被发现，它是由意大利数学家费罗(Ferro) 和丰塔那(Fontana) 彼此独立得到的。 1545年, 卡尔达塔(Cardano)在他的《大术》(ArsMagna)一书中公开发表了丰塔那的方法。这部书还讲述了费拉里(Ferrari)求解四次方程的方法。 但事情的发展似乎突然停了下来。虽然有很多数学家作出了努力，其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数学家欧拉(Euler)，但没有一个人能找出五次方程的求根公式。 拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测： 这样的求根公式不存在。 1824年，挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日的猜想是正确的。 但是虽然没有通用公式，有些特殊的五 次方程有求 根公式，那么自然会问：如何判定一个给定的五次方程是否有这样的求根公式？ 阿贝尔去世(1829年，26岁)前一直在竭尽全力地研究这个问题。 在这一时期，碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题，而且最终取得了成功，他就是伽罗华(Galois)。 可是这位年轻人获得的非凡成果，在他因决斗去世11年后才开始得到数学界的承认。 伽罗华1811年10月降生于巴黎近郊。 14岁那年因考试不及格而重上三年级。 15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时，伽罗华失败了，不得不进入普通的师范学校。 就是在这所学校，伽罗华写出了他的第一篇关于连分数的数学论文，显示了他的能力。 他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的拒绝。更糟的是，两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了。 1829年7月，他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败.怀着沮丧之情，伽罗华于1830年初又向科学院提交了另一篇论文，这次是为竞争一项数学大奖。 科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿拿回家去审 读，不料在写出评审报告前去世了，此文再也没有找到。 三失手稿，加之考巴黎高等工科大学两度失败，伽罗华遂对科学界产生排斥情绪，变成了学生激进分子，被学校开除。 担任私人辅导教师谋生，但他的数学研究工作依然相当活跃。在这一时期写出了最著名的论文“关于方程可根式求解的条件”，并于1831年1月送交科学院。 到3月，科学院方面仍杳无音讯，于是他写信给院长打听他的文章的下落，结果又如石沉大海。 他放弃了一切希望，参加了国民卫队。在那里和他在数学界一样运气不佳。他刚加入不久，卫队即遭控告阴谋造反而被解散。 在1831年5月10日进行的一次抗议聚宴上，伽罗华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯，这一手势被同伙们解释成是要国王的命；第2天他就被捕了。后来被判无罪，并于6月15日获释。 7月4日，他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运：因“无法理解”而遭拒绝。 审稿人是著名的数学家泊松(Poisson)。 7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁，因为他在公共场所身着已被解散的国民卫队的制服。 在获释不久，他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情。这导致了他的早亡。这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗。 1832年5月29日，决斗的前夜，伽罗华写了封很长的信给他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier)，其中大致描述了他的数学理论，从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受何等损失的提要。 在第二天的决斗中(离25步远用手枪射击)，伽罗华的胃部中弹，24小时后去世。享年不足21岁。 伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群，他被公认为是群论的创始人。 给定一个集合G={a,b,c,…}和集合G上的二元运算?，满足如下条件： 1. 封闭性：若a,b?G，则存在c?G使得a?b=c