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第四章 根轨迹法 引言 幅值与相角条件 根轨迹的绘制 根轨迹的应用 1 引言 什么是根轨迹？ 闭环系统的特征根随某参数变化时的轨迹线 背景：特征根（极点）重要性 方法：作图的方法求根 条件：已知系统的开环传递函数 例：二阶系统的方块图如下 则： 开环传递函数： 闭环传递函数： 闭环特征根： 根轨迹？ 当 其中： 分析根轨迹图，当 根轨迹：以k为参变量，当 变化时，闭环极点在复平面上的轨迹 2 根轨迹的定义与幅值、相角条件 开、闭环传递函数的零、极点关系 开环传递函数： 闭环传递函数： 闭环传递函数的三个要素： 闭环增益：为前向通路增益； 闭环零点：为前向通路的零点+反馈通路的极点； 闭环极点：与开环零点、开环极点以及开环增益均有关 根轨迹的定义 特征方程： 定义：当参数Kr变化时，特征方程的根在复平面上形成的轨迹为根轨迹。其中 本课程只讨论主根轨迹 根轨迹的幅值、相角条件 幅值条件： 相角条件： 根轨迹上点的必须满足幅值、相角条件。反之亦然 例 3 根轨迹的绘制 （1）根轨迹的起点和终点 起点：对应于 终点：对应于 根轨迹起始于开环传递函数的极点，终止于开环传递函数的零点。零点包括m个有限零点和(n-m)个无限零点。 有限零点： 无限零点： (2) 根轨迹的分支数 根轨迹的分支数等于开环传递函数的极点数 (3) 根轨迹的对称性 根轨迹对称于实轴 (4) 根轨迹的渐近线（对应于n-m个无限零点的方向） 根轨迹的渐近线共有n-m条，且相交于实轴上的同一点。 渐近线与实轴的交点： 渐近线与实轴的夹角： 一般而言，渐近线与实轴的夹角： n-m=1 n-m=2 n-m=3 (5) 根轨迹在实轴上的分布 实轴上凡有根轨迹的线段，其线段右侧的开环零点、极点数目之和必为奇数。 例1 系统的开环传递函数为： 解： 1 起点：0，-1， -2 终点： ， ， 2 分支数：3条(n=3) 3 对称性：对称于实轴 4 渐近线（3条）： 交点 夹角 5 实轴上根轨迹的分布：在 之间 根轨迹图 (6) 根轨迹的分离点与会合点 定义：根轨迹的分离点或会合点是指特征方程重根的位置 分离点 会合点 计算分离点或会合点的必要条件 根轨迹在分离点或会合点的角度 其他计算方法： 方法一： 方法二：综合除法 在实轴上的分离点与会合点 相邻的两开环极点间，至少有一分离点； 相邻的两开环零点间，至少有一会合点； 一对开环零、极点间，要么既有分离点，也有会合点；要么即无分离点，也无会合点。 (7) 根轨迹在开环复极点和复零点的出射角与入射角 根据相角条件，根轨迹的出射（入射）角应满足： 在开环复极点的出射角： 在开环复零点的入射角： (8) 根轨迹与虚轴的交点 两种求解方法： 用特征方程的实部、虚部方程求解（ ）。 用劳斯表求解。 例2 解 极点：s1=0, s2=-3, s3=-1+j, s4=-1-j；有限零点：无 渐近线（n-m=4条） 与实轴夹角： 与实轴交点： 实轴上的根轨迹：[0，-3]之间 分离点 解得分离点为： s=-2.3 出射角 得 根轨迹与虚轴的交点 用特征方程求解 令 特征方程： 实部方程： 虚部方程： 解得 根轨迹图 用劳斯表求解与虚轴的交点 与虚轴相交表示有一对虚根，虚根的出现则在劳斯表中有首列的零元素 求解方法：辅助方程 上例中的特征方程： 令 首项元素为零： 辅助方程： (9) 根轨迹的走向 根轨迹图在复平面上保持左、右均衡 若 ，所有闭环极点之和等于开环极点之和。 (10) 根轨迹上Kr的计算 利用幅值条件，可以确定根轨迹上任意一点s所对应的kr值。 无有限零点，上式中分母取为1。 4 根轨迹的应用 基于根轨迹图的系统性能分析 稳定性 稳态特性 动态特性 例3：系统开环传递函数 解 极点：0， -4， -6 零点：无 渐近线：3条 交点 夹角 分离点： 得 与虚轴交点：特征方程