高中数学人教A版必修5课时作业1.2应用举例4.docVIP

课时作业(四)　正、余弦定理在三角形中的应用 A组　基础巩固 1．在ABC中，若＝＝，则ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：根据正弦定理＝＝，因此sinBcosB＝sinAcosA，即sin2B＝sin2A，所以B＝A或2B＋2A＝π，由于＝，所以2B＋2A＝π成立，即B＋A＝. 答案：A 2．ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则ABC的面积等于(　　) A. B. C.或 D.或 解析：＝，sinC＝.0°∠C180°，C＝60°或120°.(1)当C＝60°时，A＝90°， BC＝2.此时SABC＝. (2)当C＝120°时，A＝30°， 此时SABC＝××1×sin30°＝. 答案：D 3．在ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则SABC的值为(　　) A. B. C. D．2 解析：SABC＝AB·AC·sinA＝. 答案：B 4．在ABC中，A＝60°，AB＝2，且ABC的面积SABC＝，则边BC的长为(　　) A. B．3 C. D．7 解析：S△ABC＝AB·ACsinA＝， AC＝1， 由余弦定理可得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA ＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3. 即BC＝. 答案：A 5．若ABC的周长等于20，面积是10，B＝60°，则边AC的长是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：设ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＝60°，由题意，得 即 解得b＝7，边AC的长为7. 答案：C 6．在ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为(　　) A. B. C. D. 解析：设AB＝AD＝， 则BD＝ AB＝2，BC＝2BD＝4， 在ABD中利用余弦定理得 cosA＝＝， sinA＝＝. 在ABC中利用正弦定理得＝， sinC＝＝＝，故选D. 答案：D 7．在ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________． 解析：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0. x1＝，x2＝－2(舍去)． cosC＝. 根据余弦定理， c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×＝16. c＝4，即第三边长为4. 答案：4 8．已知ABC的三个内角A，B，C满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为________． 解析：2B＝A＋C，A＋B＋C＝3B＝180°， B＝60°，BC＝4，BD＝2，在ABD中， AD＝ ＝＝. 答案： 9．在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根，角A、B满足：2sin(A＋B)－＝0，求角C的度数，边c的长度及ABC的面积． 解：由2sin(A＋B)－＝0，得sin(A＋B)＝， ABC为锐角三角形， A＋B＝120°，C＝60°， 又a、b是方程x2－2x＋2＝0的两根， a＋b＝2，ab＝2. c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6， c＝，SABC＝absinC＝×2×＝. 10．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证： －＝c. 证明：由余弦定理的推论得cosB＝， cosA＝，代入等式右边，得 右边＝c ＝＝＝－＝左边， －＝c. B组　能力提升 11．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积为(　　) A．16 B. C．18 D．32 解析： 如右图，设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b， 则 即 解得或 cos∠BAD＝＝， sin∠BAD＝，从而SABCD＝4×5×＝16. 答案：A 12．若三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足等式＋＝b，则B＝________. 解析：＋＝b， a3－b3＋c3＋a2b－ab2＋c2b－b2c－abc＝0， 即(a＋b＋c)(a2＋c2－b2－ac)＝0. 又a，b，c表示边长，a＋b＋c≠0， a2＋c2－b2－ac＝0， 由余弦定理的推论得cosB＝， B＝60°. 答案：60° 13．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值． 解：(1)由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sinB＝cosB， 所以tanB＝， 所以B＝. (2)由sinC＝2sinA及＝，得c＝2a. 由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac， 所以a＝，c＝2. 14．在ABC中，求证：