高中数学人教A版必修5课时作业3.4基本不等式19.docVIP

课时作业(十九)　基本不等式 A组　基础巩固 1．若x0，y0，且＋＝1，则xy有(　　) A．最大值64 B．最小值 C．最小值 D．最小值64 解析：xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，≥8， 即xy≥64，当且仅当即时等号成立． 答案：D 2．已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 解析：x＋2y＋2xy＝8，y＝0， －1x8，x＋2y＝x＋2· ＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4， 当且仅当x＋1＝时“＝”成立，此时x＝2，y＝1. 答案：B 3．若a0，b0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是(　　) A. B．1 C．4 D．8 解析：由a0，b0，ln(a＋b)＝0，得 ＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，取等号． 答案：C 4．已知x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值是(　　) A．3 B．1＋2 C．6 D．7 解析：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2＋1＝2×3＋1＝7，当且仅当3x＝33y且x＋3y－2＝0，即x＝1，y＝时，等号成立，所求最小值为7. 答案：D 5．设M是ABC内一点，且ABC的面积为1，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、p分别是MBC，MCA，MAB的面积，若f(M)＝，则＋的最小值是(　　) A．8 B．9 C．16 D．18 解析：ABC的面积为MBC，MCA，MAB的面积之和，＋x＋y＝1，即x＋y＝，＋＝(2x＋2y)＝10＋＋≥18.当且仅当x＝，y＝时等号成立． 答案：D 6．设abc0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是(　　) A．2 B．4 C．2 D．5 解析：abc0，原式＝a2＋＋－10ac＋25c2＋a2＝a2－ab＋＋ab＋＋(a－5c)2≥2＋2＋0＝4，当且仅当a(a－b)＝1，ab＝1，a－5c＝0时取等号．即当a＝，b＝，c＝时，所求式的最小值为4. 答案：B 7．函数y＝a1－x(a0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn0)上，则＋的最小值为________． 解析：函数y＝a(1－x)(a0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，因为点A在直线mx＋ny＝1上，所以m＋n＝1. 又因为mn0， 所以＋＝·1＝(m＋n) ＝2＋＋≥2＋2＝4. 当且仅当m＝n时，取等号． 答案：4 8．若对任意的x0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 解析：根据题意，令f(x)＝＝，x0，x＋≥2，f(x)＝≤＝，当且仅当x＝1时，取得最大值.若使不等式恒成立，只需a≥即可． 答案：a≥ 9．已知a0，b0，a＋b＝1，求证：≥9. 证明：方法一：因为a0，b0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋.同理1＋＝2＋， 故＝＝5＋2≥5＋4＝9. 所以≥9 . 方法二：＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，因为a，b为正数，a＋b＝1， 所以ab≤2＝，于是≥4，≥8， 因此≥1＋8＝9 10．已知函数y＝(x－2)． (1)求的取值范围． (2)当x为何值时，y取何最大值？ 解：(1)设x＋2＝t，x＝t－2，t0(x－2)， 则＝＝＝＝t＋－3≥2－3，的取值范围为[2－3，＋∞]． (2)欲使y最大，必有最小，此时t＝，t＝，x＝－2，y＝，当x＝－2时，y最大，最大值为. B组　能力提升 11．在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为(　　) A. B. C. D．－ 解析：由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC.又c2＝(a2＋b2)，所以2abcosC＝(a2＋b2)，即cosC＝≥＝，所以选C. 答案：C 12．设a＋b＝2，b0，则当a＝________时，＋取得最小值． 解析：a＋b＝2，则t＝＋＝＋. 当a0时，即a(0,2)时， t＝＋＋≥＋2＝＋1＝， 当且仅当＝，即b＝2a时等号成立． 又a＋b＝2，此时a＝. 当a0时，t＝－＋＋≥－＋2＝－＋1＝， 当且仅当－＝－，即b＝－2a时等号成立． 又a＋b＝2，此时a＝－2. 综上所述，当a＝－2时，＋取得最小值为. 答案：－2 13．如图，已知小矩形花坛ABCD，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C. (1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？ (2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由． 解：(1)设AM＝x，AN＝y(x3，y2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy. NDC∽△NA