高中数学人教A版选修2-2课时作业1.4生活中的优化问题举例.docVIP

课时作业(九)　生活中的优化问题举例 A组　基础巩固 1．有边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为(　　) A．18　　　　B．10 C．8 D．1 解析：设正方形的边长为x，则 V＝(8－2x)(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x)， V′＝4(3x2－13x＋10)， 令V′＝0，得x＝1， 所以当x＝1时，容积V取最大值为18. 答案：D 2．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为(　　) A．2πr2 B．πr2 C．4πr2 D.πr2 解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ， S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ. S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos2θ＝0，θ＝. 当θ＝，即R＝r时，S侧最大且(S侧)max＝2πr2. 答案：A 3．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 解析：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值． 答案：B 4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　) A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 解析：设毛利润为L(P)，由题意知， L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20) ＝(8 300－170P－P2)(P－20) ＝－P3－150P2＋11 700P－166 000， 所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700. 令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)． 此时，L(30)＝23 000. 根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元． 答案：D 5．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为12，则它的长为________cm，宽为________cm，高为________cm时，可使表面积最小． 解析：设底面两邻边长分别为x cm,2x cm，则高h＝＝. 表面积S＝4x2＋2(x＋2x)·＝4x2＋(x＞0)． S′＝8x－＝(x3－27)． 令S′＝0，解得S在(0，＋∞)内的唯一可能的极值点为x＝3，x＝3时函数取极值，且就是它的最小值． 答案：6　3　4 6．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为__________dm时最省料． 解析：设底面边长为x dm，则高h＝， 其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋， S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8， 则高h＝＝4(dm)． 答案：4 7．一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________时，帐篷的体积最大． 解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为 ＝(m)， 于是底面正六边形的面积为 S＝6×()2＝(8＋2x－x2)． 帐篷的体积为 V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2) ＝(8＋2x－x2) ＝(16＋12x－x3)， 求导数，得V′＝(12－3x2)． 令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)． 当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0. 所以当x＝2时，V最大． 答案：2 m 8．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？ 解析：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103， 可得k＝.Q＝x3. 总费用y＝·＝x2＋. y′＝－.令y′＝0，得x＝20. 当x(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减， 当x(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增． 当x＝20时，y取得最小值， 此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小． B组　能力提升 9．统计表明：