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高中数学人教A版选修2-2课时作业1.5定积分的概念
课时作业(十一) 定积分的概念
A组 基础巩固
1.定积分(-3)dx等于( )
A.-6 B.6
C.-3 D.3
解析:由定积分的几何意义知,(-3)dx表示由x=1,x=3,y=0及y=-3所围成的矩形面积的相反数,故(-3)dx=-6.
答案:A
2.已知定积分f(x)dx=8,且f(x)为偶函数,则f(x)dx等于( )
A.0 B.16
C.12 D.8
解析:偶函数图象关于y轴对称,故f(x)dx=2f(x)dx=16.
答案:B
3.下列命题不正确的是( )
A.若f(x)是连续的奇函数,则f(x)dx=0
B.若f(x)是连续的偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx
C.若f(x)在[a,b]上连续且恒正,则f(x)dx>0
D.若f(x)在[a,b]上连续且f(x)dx>0,则f(x)在[a,b]上恒正
解析:A项,因为f(x)是奇函数,图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A项正确;B项,因为f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,故y轴两侧的图象都在x轴上方或下方且面积相等,故B项正确;由定积分的几何意义知,C项显然正确;D项,f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.
答案:D
4.设f(x)是[a,b]上的连续函数,则f(x)dx-f(t)dt的值( )
A.大于零 B.等于零
C.小于零 D.不能确定
解析:定积分的值只与被积函数和积分区间有关,与积分变量用什么字母表示无关.f(t)dx和f(x)dt都表示曲线y=f(x)与x=a,x=b及y=0所围成的曲边梯形的面积,它们的值相等.故选B.
答案:B
5.下列各阴影部分的面积S不可以用S=[f(x)-g(x)]dx求出的是( )
A B
C D
解析:定积分S=[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方.对照各选项可知,D项中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方.故选D.
答案:D
6.若f(x)dx=3,g(x)dx=2,则[f(x)+g(x)]dx=__________.
解析:∵[f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+
g(x)dx=3+2=5.
答案:5
7.若cosxdx=1,则由x=0,x=π,f(x)=sinx及x轴围成的图形的面积为__________.
解析:由正弦函数与余弦函数的图象,知f(x)=sinx,x∈[0,π]的图象与x轴围成的图形面积等于g(x)=cosx,x∈的图象与x轴围成的图形的面积的2倍,所以S=sinxdx=2.
答案:2
8.直线x=1,x=-1,y=0及曲线y=x3+sinx围成的平面图形的面积可表示为__________.
解析:因y=x3+sinx为奇函数,
故 (x3+sinx)dx=-(x3+sinx)dx<0.
所以S=2(x3+sinx)dx.
答案:2(x3+sinx)dx
9.计算 (-x3)dx的值.
解析:如图阴影所示:
由定积分的几何意义得
dx=π×32=π,
x3dx=0.
由定积分的性质得
(-x3)dx=dx--3x3dx=π.
B组 能力提升
10.已知函数f(x)=求f(x)在区间[-1,3π]上的定积分.
解析:由定积分的几何意义知:
∵f(x)=x5是奇函数,故x5dx=0;
sinxdx=0(如图(1)所示);
xdx=(1+π)(π-1)=(π2-1)(如图(2)所示).
图(1)
图(2)
∴f(x)dx=x5dx+xdx+∫sinxdx
=xdx=(π2-1).
11.求证:<dx<1.
证明:如图,dx表示阴影部分面积,△OAB的面积是,正方形OABC的面积是1,显然,△OAB的面积<阴影部分面积<正方形OABC的面积,即<dx<1.
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