高中数学人教A版选修2-2课时作业2.2直接证明与间接证明.docVIP

课时作业(十八)　反证法 A组　基础巩固 1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤： 则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；假设直线AC，BD是共面直线． 则正确的序号顺序为(　　) A． B． C． D． 解析：根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为. 答案：B 2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”． 答案：A 3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析：假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C. 答案：C 4．若ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 解析：分ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则ADB＋ADC＝π，若ADB为钝角，则ADC为锐角．而ADC＞BAD，ADC＞ABD，ABD与ACD不可能相似，与已知不符，只有当ADB＝ADC＝BAC＝时，才符合题意． 答案：B 5．设a，b(0，＋∞)，则a＋，b＋(　　) A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 解析：假设a＋＜2，b＋＜2，则＋＜4.　又a，b(0，＋∞)，所以a＋＋b＋＝＋≥2＋2＝4.这与式相矛盾，故假设不成立，即a＋，b＋至少有一个不小于2. 答案：D 6．ABC中，若AB＝AC，P是ABC内的一点，APB＞APC，求证：BAP＜CAP.用反证法证明时的假设为__________． 解析：反证法对结论的否定是全面否定，BAP＜CAP的对立面是BAP＝CAP或BAP＞CAP. 答案：BAP＝CAP或BAP＞CAP 7．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： A＋B＋C＝90°＋90°＋C＞180°，这与三角形内角为180°相矛盾，则A＝B＝90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不防设A＝B＝90°. 正确顺序的序号排列为__________． 解析：由反证法证明的步骤知，先反证即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为. 答案： 8．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数． 证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数__________＝__________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数． 解析：据题目要求及解题步骤， 因为a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数， 所以(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也为奇数． 即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数． 又因为a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列， 所以a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0. 所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0. 答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) (a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) 9．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列． 证明：假设数列{cn}是等比数列，则 (an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)． ∵{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q， a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1. 代入并整理，得 2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn， 即2＝＋. 当p，q异号时，＋＜0，与相矛盾； 当p，q同号时，由于p≠q， ＋＞2，与相矛盾．故数列{cn}不是等比数列． 10．证明：1，，2不能为同一等差数列的三项． 证明：假设1，，2为同一等差数列的三项． 则有等差数列的定义知1×2＝()2＝3， 则2＝3不成立， 则假设不成立， 即原命题成立，即1，，