高中数学苏教版必修4学业分层测评：第三章三角恒等变换3.1.2Word版含解析.docVIP

学业分层测评(二十五)　两角和与差的正弦 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为________． 【解析】　由cos αcos β－sin αsin β＝0得 cos(α＋β)＝0， α＋β＝＋kπ，kZ. ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝sin＝±1. 【答案】　±1 2．若M＝sin 12°cos 57°－cos 12°sin 57°，N＝cos 10°cos 55°＋sin 10°sin 55°，则M＋N＝________. 【解析】　M＝sin 12°cos 57°－cos 12°sin 57° ＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－. N＝cos 10°cos 55°＋sin 10°sin 55°＝cos(10°－55°) ＝cos(－45°)＝. ∴M＋N＝0. 【答案】　0 3．若锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是________． 【解析】　α，β，cos α＝，cos(α＋β)＝. sin α＝， 0＜α＋β＜π，sin(α＋β)＝. sin β＝sin ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝×－× ＝ 【答案】　 4．在ABC中，2cos Bsin A＝sin C，则ABC的形状一定是________． 【解析】　在ABC中，C＝π－(A＋B)， 2cos Bsin A＝sinπ－(A＋B)] ＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B. －sin Acos B＋cos Asin B＝0. 即sin(B－A)＝0.A＝B. 【答案】　等腰三角形 5．(2016·南通高一检测)要使sin α－cos α＝有意义，则实数m的取值范围是________． 【解析】　sin α－cos α＝2sin. 2sin＝. sin＝ ≤1，解得－1≤m≤. 【答案】　 6．化简：＝________. 【解析】　 ＝ ＝＝＝－1. 【答案】　－1 7．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________. 【导学号 【解析】　由8sin α＋5cos β＝6，两边平方， 得64sin2α＋80sin αcos β＋25cos2β＝36. 由8cos α＋5sin β＝10，两边平方， 得64cos2α＋80cos α sin β＋25sin2β＝100. 由＋，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136. sin(α＋β)＝. 【答案】　 8．cossin α＋coscos α＝________. 【解析】　因为cos＝sin， 所以原式＝sincos α＋cossin α ＝sin＝sin ＝. 【答案】　 二、解答题 9．已知cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且＜β＜α＜π，求sin 2α. 【解】　＜β＜π， －π＜－β＜－. ∵＜α＜π， －＜α－β＜. 又β＜α，0＜α－β＜， 则sin＝. ∵sin(α＋β)＝－，π＜α＋β＜π， cos(α＋β)＝－. ∴sin 2α＝sin ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝×＋×＝－. 10．(2016·南京高一检测)若函数f(x)＝(1＋tan x)·cos x,0≤x＜. (1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式； (2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值． 【解】　(1)f(x)＝(1＋tan x)·cos x ＝cos x＋··cos x ＝cos x＋sin x ＝2 ＝2 ＝2sin. (2)∵0≤x＜，≤x＋＜， 由x＋≤，得x≤. f(x)在上是单调增函数， 在上是单调减函数． 当x＝时，f(x)有最大值为2. 能力提升] 1．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________． 【解析】　f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ ＝sin(x＋φ)－φ]＝sin x， f(x)的最大值为1. 【答案】　1 2．(2016·苏州高一检测)已知cos＋sin α＝，则sin的值是________． 【解析】　cos α·＋sin α·＋sin α＝， sin α＋cos α＝， ＝， sin＝，sin＝sin