高中数学苏教版必修4学业分层测评：第二章平面向量2.4.1Word版含解析.docVIP

学业分层测评(二十一)　数量积的定义 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝________. 【解析】　e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝±1. 【答案】　±1 2．已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为________． 【解析】　|a|＝8，|b|＝4，b在a方向上的投影为|b|cos 120°＝4×cos 120°＝4×＝－2. 【答案】　－2 3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝________. 【解析】　|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°， a·b＝|a||b|cos 120°＝－. 又a·a＝|a|2＝1， a·a＋a·b＝1－＝. 【答案】　 4．在ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________． 【解析】　||＝13，||＝5，||＝12， ||2＝||2＋||2， ABC为直角三角形． 又cosABC＝， ·＝||||cos(π－ABC) ＝13×5× ＝－25. 【答案】　－25 5．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________. 【解析】　|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，a2－2a·b＋b2＝4，即|a|2－2a·b＋|b|2＝4， 得1－2a·b＋4＝4，2a·b＝1.于是|a＋b|＝＝＝＝. 【答案】　 6．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________. 【解析】　|a＋b|＝，|a－b|＝， ①－得a·b＝1. 【答案】　1 7．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为________． 【导学号 【解析】　|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，a·b＝2×1×cos 60°＝1， |a－4b|＝ ＝ ＝ ＝2. 【答案】　2 8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________. 【解析】　由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 【答案】　－8或5 二、解答题 9．(2016·南通高一检测)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求|a＋b|； (2)求向量a在向量a＋b方向上的投影． 【解】　(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. |a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6， |a＋b|＝ ＝＝. (2)a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10， 向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝. 10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？ 【解】　e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， (e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2 ＝2k＞0，k＞0. 但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k＞0且k≠1. 能力提升] 1．(2016·镇江高一检测)定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于________． 【解析】　由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－，sin θ＝， |a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×＝8. 【答案】　8 2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________． 【解析】　(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝0， a·b＝－|b|2，设a与b的夹角为θ， cos θ＝＝＝－， θ∈0，π]，θ＝120°. 【答案】　120° 3．(2016·苏州高一检测)在平行四边形ABCD中，AD＝1，BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________． 【解析】　设||＝x(x＞0)，则·＝x， 所以·＝(＋)·＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为. 【答案】　 4．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°. (1)求证：(a－b)c； (2)若|ka＋b＋c|＞1(kR)，求k的取值范围． 【解】　(1)证明：|a|＝|b| ＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为