高中数学苏教版必修5学业分层测评：第一章解三角形2.docVIP

学业分层测评(二) (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1．已知ABC的面积为且b＝2，c＝2，则A＝______. 【解析】　S△ABC＝bcsin A，b＝2，c＝2， ×2×2sin A＝， sin A＝. 又A∈(0，π)， A＝或. 【答案】　或 2．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________ n mile. 【解析】　如图所示， 易知C＝45°， 由正弦定理得＝， BC＝＝5. 【答案】　5 3．(2016·苏州高二检测)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则ABC的面积为________. 【导学号 【解析】　由正弦定理知，＝，结合条件得c＝＝2. 又sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝， 所以ABC的面积S＝bcsin A＝＋1. 【答案】　＋1 4．ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝________. 【解析】　由正弦定理得＝，B＝2A，a＝1，b＝， ＝. A为三角形的内角，sin A≠0，cos A＝. 又0＜A＜π，A＝，B＝2A＝. C＝π－A－B＝，即ABC为直角三角形， 由勾股定理得c＝＝2. 【答案】　2 5．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为________． 【解析】　由正弦定理得，原式＝＝22－1＝2×2－1＝. 【答案】　 6．(2016·泰州高二检测)在ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是________三角形． 【解析】　由a＝2bcos C可知 sin A＝2sin Bcos C， sin(B＋C)＝2sin Bcos C， sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， sin(B－C)＝0， B＝C，b＝c， ABC为等腰三角形． 【答案】　等腰 7．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin B·cos C＋csin Bcos A＝b，且ab，则B＝________. 【解析】　根据正弦定理将边化角后约去sin B，得sin(A＋C)＝，所以sin B＝，又ab，所以AB，所以B＝. 【答案】　 8．在ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)2，则最大角为________． 【解析】　设最小角为α，则最大角为120°－α， ＝， 2sin(120°－α)＝(＋1)sin α， sin α＝cos α，α＝45°， 最大角为120°－45°＝75°. 【答案】　75° 二、解答题 9．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，求这时船与灯塔的距离． 【解】　如图所示，在ABC中，BAC＝30°，ACB＝105°， ABC＝45°，AC＝60.根据正弦定理， 得BC＝＝＝30(km)． 10．在ABC中，A的平分线交BC于D，用正弦定理证明：＝. 【证明】　如图，由题意可知，1＝2，3＋4＝180°， 在ABD中，由正弦定理得 ＝， 在ADC中，由正弦定理得 ＝， 又sin1＝sin2，sin3＝sin4， 故得＝. 能力提升] 1．在ABC中，＝，则ABC的形状一定是________． 【解析】　在ABC中，＝， acos A＝bcos B，由正弦定理， 得2Rsin Acos A＝2Rsin Bcos B， sin 2A＝sin 2B， 2A＝2B或2A＋2B＝180°， A＝B或A＋B＝90°. 故ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【答案】　等腰或直角三角形或等腰直角三角形 2．(2016·南京高二检测)在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则的取值范围为________． 【解析】　在锐角三角形ABC中，A，B，C均小于90°， 即30°B45°. 由正弦定理知： ＝＝＝2cos B(，)， 故的取值范围是(，)． 【答案】　(，) 3．ABC中，A＝，BC＝3，则ABC的周长为________(用B表示). 【导学号 【解析】　在ABC中，A＋B＋C＝π可知C＝－B. 由正弦定理得 ＝＝， AB＝2sin， AC＝2sin B， ABC的周长为AB＋AC＋BC＝2·＋3＝3＋6sin. 【答案】　3＋6sin 4．(2016·如东高二检测)在ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A. (1)求cos A的值； (2)求c的值． 【解】　(1)因为