高中数学苏教版必修5学业分层测评：第一章解三角形4Word版含解析.docVIP

学业分层测评(四) (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1．在ABC中，若B＝60°，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 【解析】　在ABD中，ABD＝60°，AB＝1，BD＝2，由余弦定理得AD2＝3，故AD＝. 【答案】　 2．如图1-2-3所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________ km. 图1-2-3 【解析】　CA＝CB＝a， ACB＝180°－20°－40°＝120°， AB2＝AC2＋CB2－2×AC×CBcos ACB， 即AB2＝a2＋a2＋a2＝3a2， AB＝a. 【答案】　a 3．如图1-2-4所示，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是________． 图1-2-4 【解析】　由余弦定理：x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1(舍去)． 【答案】　4 4．在钝角ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围为________． 【解析】　在钝角ABC中，由于最大边为c，所以角C为钝角．所以c2a2＋b2＝1＋4＝5，即c，又因ca＋b＝1＋2＝3，所以c3. 【答案】　(，3) 5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________． 【解析】　设直角三角形三边为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x20， c＋x所对的最大角变为锐角． 【答案】　锐角三角形 6．(2016·南通高二检测)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若SABC＝，则角C的大小为________. 【导学号 【解析】　S△ABC＝， absin C＝×2abcos C， tan C＝1，又C(0，π)， C＝. 【答案】　 7．(2016·扬州高二检测)在ABC中，AB＝7，BC＝5，AC＝6，则A·B等于________． 【解析】　由余弦定理得cos B＝＝＝. ·＝－·B＝－||·||·cos B＝－7×5×＝－19. 【答案】　－19 8．在ABC中，若sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是________． 【解析】　由正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc， 即b2＋c2－a2≥bc， 2bccos A≥bc， cos A≥. 又A(0，π)且y＝cos x在(0，π)上是减函数，故A. 【答案】　 二、解答题 9．ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A＝. (1)求·； (2)若c－b＝1，求a的值． 【解】　由cos A＝，得sin A＝＝. 又bcsin A＝30， bc＝156. (1)·＝bccos A＝156×＝144. (2)a2＝b2＋c2－2bccos A＝(c－b)2＋2bc(1－cos A)＝1＋2×156×＝25，a＝5. 10．(2016·苏州高二检测)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)． (1)求证：A＝2B. (2)若a＝b，判断ABC的形状． 【解】　(1)证明：由a2＝b(b＋c)得 a2＝b2＋bc， 又cos B＝＝＝， 2sin Acos B＝sin B＋sin C ＝sin B＋sin(A＋B) 即sin B＝sin(A－B)， B＝A－B或A－B＝π－B， A＝2B或A＝π不成立， 故A＝2B. (2)a＝b，＝. 又由a2＝b(b＋c)可得c＝2b， cos B＝＝＝， 所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°， ABC为直角三角形． 能力提升] 1．(2015·天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________． 【解析】　在ABC中，由cos A＝－可得sin A＝， 所以有解得 【答案】　8 2．如图1-2-5，在ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C＝________. 图1-2-5 【解析】　设AB＝a，则AD＝a，BD＝，BC＝2BD＝，cos A＝＝＝，sin A＝＝.由正弦定理知sin C＝·sin A＝×＝. 【答案】　 3．在ABC中，若lg a－lg c＝lg sin A＝－lg，并且A为锐角，则ABC为________三角形． 【解析】　lg a－lg c＝lg sin A＝