高中数学苏教版选修1-1学业分层测评：第2章圆锥曲线与方程2.2.1Word版含解析.docVIP

学业分层测评(六)　椭圆的标准方程 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1.圆＋＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为________. 【解析】　设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，不妨令MF1＝4， 由MF1＋MF2＝2a＝10，得MF2＝10－MF1＝10－4＝6. 【答案】　6 2.若a＝6，b＝，则椭圆的标准方程是________. 【解析】　椭圆的焦点在x轴上时，方程为＋＝1，在y轴上时，方程为＋＝1. 【答案】　＋＝1或＋＝1 3.(2016·汉中高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项.该椭圆的方程是________. 【解析】　PF1＋PF2＝2F1F2＝2×4＝8，2a＝8，a＝4， b2＝a2－c2＝16－4＝12，椭圆方程是＋＝1. 【答案】　＋＝1 4.过(－3,2)点且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程为________. 【解析】　与＋＝1有相同焦点的椭圆可设为＋＝1且k＜4，将(－3,2)代入得：k＝－6. 【答案】　＋＝1 5.把椭圆＋＝1的每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，则所得曲线方程为________. 【导学号 【解析】　原方程化为2＋2＝1，所得曲线为x2＋y2＝1. 【答案】　x2＋y2＝1 6.椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是________. 【解析】　椭圆化为标准形式为＋＝1，a2＝，b2＝，c2＝a2－b2＝－＝， 且焦点在x轴上，故为. 【答案】　 7.方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是________. 【解析】　将方程化为＋＝1，由题意得解之得m1. 【答案】　m1 8.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则F1PF2的面积为________. 【解析】　·＝0，PF1⊥PF2.∴PF＋PF＝F1F且PF1＋PF2＝2a. 又a＝5，b＝3，c＝4， ②2－，得2PF1·PF2＝102－64，PF1·PF2＝18，F1PF2的面积为9. 【答案】　9 二、解答题 9.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)； (2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2. 【解】　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(ab0)， 椭圆经过点(2,0)和(0,1)， ∴故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(ab0)，P(0，－10)在椭圆上，a＝10.又P到它较近的一个焦点的距离等于2， －c－(－10)＝2，故c＝8，b2＝a2－c2＝36. 所求椭圆的标准方程是＋＝1. 10.已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2. (1)求M的横坐标； (2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程. 【解】　(1)把M的纵坐标代入＋＝1，得＋＝1，即x2＝9. x＝±3.即M的横坐标为3或－3. (2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为＋＝1，把M点坐标代入得＋＝1， 解得a2＝15.故所求椭圆的方程为＋＝1. 能力提升] 1.(2016·绵阳高二检测)设P是椭圆＋ ＝1上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则PF1·PF2的最大值是________. 【解析】　由题意知：PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1·PF2≤2＝2＝16，当且仅当PF1＝PF2时取“＝”号，故PF1·PF2的最大值是16. 【答案】　16 2.已知椭圆的两个焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得PQ＝PF2，那么动点Q的轨迹是________. 【解析】　如图所示，因为P是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：PF1＋PF2＝2a为常数.又因为PQ＝PF2，所以PF1＋PQ＝2a，即QF1＝2a为常数.即动点Q到定点F1的距离为定值，所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆.故Q的轨迹为圆. 【答案】　圆 3.(2016·长沙高二检测)若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且F1AF2＝45°，则AF1F2的面积为________. 【解析】　如图所示， F1F2＝2，AF1＋AF2＝6，由AF1＋AF2＝6， 得AF＋AF＋2AF1·AF2＝36.又在AF1F2中， AF＋AF－F1F＝2AF1·AF2cos 45°， 所以36－2AF1·AF2－8＝AF1·AF2， 所以AF1·AF2＝＝14(2－)， 所以SAF1F2＝AF1·AF2 sin 45°＝×14(2－)×＝7(－