高中数学苏教版选修1-1学业分层测评：第2章圆锥曲线与方程2.2.2Word版含解析.docVIP

学业分层测评(七)　椭圆的几何性质 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是________. 【解析】　椭圆方程可简化为＋＝1，由题意知m0，，a＝， 椭圆的长轴长2a＝. 【答案】　 2.设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆的一个交点为M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为________. 【解析】　由题意知圆F2的半径为c，在RtMF1F2中，|MF2|＝c，|MF1|＝2a－c，|F1F2|＝2c且MF1MF2. 所以(2a－c)2＋c2＝4c2，2＋2－2＝0， e＝＝－1. 【答案】　－1 3.直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________. 【解析】　直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程，得＋＜1，P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 【答案】　相交 4.(2016·常州高二检测)已知椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为________. 【解析】　根据条件可知＝，且4a＝4，a＝，c＝1，b＝， 椭圆的方程为＋＝1. 【答案】　＋＝1 5.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0e≤.则长轴长的取值范围为________. 【导学号 【解析】　b＝1，c2＝a2－1，又＝＝1－≤，≥，a2≤4， 又a2－10，a21，1a≤2，故长轴长22a≤4. 【答案】　(2,4] 6.(2016·广州高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在y轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆方程为________. 【解析】　因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设椭圆的方程为＋＝1(ab0). 由得由a2＝b2＋c2，得b2＝32.故椭圆的方程为：＋＝1. 【答案】　＋＝1 7.椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是________. 【解析】　如图，当直线x＝m，过右焦点(1,0)时，FAB的周长最大， 由解得y＝±，|AB|＝3.S＝×3×2＝3. 【答案】　3 8.(2016·宿州高二检测)已知椭圆方程是＋＝1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为________. 【导学号 【解析】　方法一：易知直线MN的斜率存在，设为k，则其直线方程为y－1＝k(x－1)， 由得(4＋9k2)x2－18k(k－1)x＋9k2－18k－27＝0，又设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝＝2，解得k＝－，则所求的直线方程为y－1＝－(x－1)， 即4x＋9y－13＝0. 方法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝1 ＋＝1 ①－得＝－ k＝＝－＝－＝－. 直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0. 【答案】　4x＋9y－13＝0 二、解答题 9.(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率. (2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率. 【解】　(1)由题意得：b＝c， e2＝＝＝＝，e＝. (2)由题意得：2b＝a＋c，4b2＝(a＋c)2 又a2＝b2＋c2，4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2， 即3a2－2ac－5c2＝0，3－2·－5·2＝0，即5·2＋2·－3＝0，e＝＝. 10.过椭圆＋＝1内点M(2,1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程. 【解】　方法一：依题意，该直线l的斜率存在.设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝. 又M为AB的中点，＝＝2，解之得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，M(2,1)为AB的中点. x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A、B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16. 两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0. 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ＝－＝－， 即kAB＝－.故所求直线方程为x＋2y－4＝0. 能力提升] 1.点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________. 【解析】　点A(a,1)在椭圆＋＝1内部， ＋＜1.＜.则a2＜2，－＜a＜. 【答案】　－＜a＜ 2.