高中数学苏教版选修1-1学业分层测评：第2章圆锥曲线与方程2.3.1Word版含解析.docVIP

学业分层测评(八)　双曲线的标准方程 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1.椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是________. 【解析】　验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3. 对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点. 直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.m2＝1，即m＝±1. 【答案】　±1 2.已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为________. 【导学号 【解析】　依题意可设双曲线方程为－＝1(a0，b0)，则有解得故双曲线的标准方程为－y2＝1. 【答案】　－y2＝1 3.(2016·通州高二检测)已知双曲线－＝1(a0，b0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(3，)在双曲线上，则双曲线方程为________. 【解析】　PF1＝＝4，PF2＝＝2， PF1|－PF2＝2＝2a，所以a＝，又c＝2，故b2＝c2－a2＝2， 所以双曲线的方程为－＝1. 【答案】　－＝1 4.若双曲线2x2－y2＝k的半焦距为3，则k的值为______. 【解析】　若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，＋k＝32，即k＝6. 若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1， －k＋＝32，即k＝－6. 综上，k的值为6或－6. 【答案】　6或－6 5.若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________. 【解析】　由题意，方程可化为－＝3， 解得m－2. 【答案】　(－∞，－2) 6.(2016·聊城高二检测)设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，若PF1＝10，则PF2＝________. 【解析】　由双曲线方程，得a＝3，b＝4，c＝5. 当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2－PF1|＝6，所以PF2＝PF1＋6＝10＋6＝16；当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1－PF2|＝6，所以PF2＝PF1－6＝10－6＝4.故PF2＝4或PF2＝16. 【答案】　4或16 7.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1PF2，PF1·PF2＝2，则双曲线的标准方程是________. 【解析】　设PF1＝m，PF2＝n，在RtPF1F2中，m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2， 由双曲线定义，知(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝16. 4a2＝16.a2＝4，b2＝c2－a2＝1. 双曲线的标准方程为－y2＝1. 【答案】　－y2＝1 8.F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，M是双曲线上一点，且MF1·MF2＝32，则F1MF2的面积为________. 【解析】　由题意可得双曲线的两个焦点是F1(0，－5)、F2(0,5)，由双曲线定义得， |MF1－MF2|＝6，联立MF1·MF2＝32，得MF＋MF＝100＝F1F， 所以 F1MF2是直角三角形，从而其面积为S＝MF1·MF2＝16. 【答案】　16 二、解答题 9.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)经过点A(4，3)，且a＝4； (2)经过点A、B(3，－2). 【导学号 【解】　(1)若所求双曲线方程为－＝1(a0，b0)，则将a＝4代入，得－＝1， 又点A(4，3)在双曲线上，－＝1.解得b2＝9，则－＝1， 若所求双曲线方程为－＝1(a0，b0).同上，解得b20，不合题意， 双曲线的方程为－＝1. (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0)， 点A、B(3，－2)在双曲线上， 解之得 所求双曲线的方程为－＝1. 10.已知曲线C：＋＝1(t≠0，t＝±1). (1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点. 【解】　(1)当|t|1时，t20，t2－10，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆； 当|t|1时，t20，t2－10，曲线C为双曲线. (2)证明：当|t|1时，曲线C是椭圆，且t2t2－1， 因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，焦点为F1(－1,0)，F2(1,0). 当|t|1时，双曲线C的方程为－＝1，c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1， 焦点为F1(－1,0)，F2(1,0).综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点. 能力提升] 1.已知双曲线方程为－＝1，点A、B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则ABF1的周长为________. 【解析】　设ABF1的周长为C，则C＝AF1＋BF1＋AB＝(AF1－AF2