高中数学苏教版选修1-1学业分层测评：第2章圆锥曲线与方程2.3.2Word版含解析.docVIP

学业分层测评(九)　双曲线的几何性质 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是 ________. 【解析】　令x2－＝0，则y＝±x. 【答案】　y＝±x 2.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于________. 【解析】　双曲线方程化为标准形式：y2－＝1，则有：a2＝1，b2＝－， 由题设条件知，2＝，m＝－. 【答案】　－ 3.对于方程－y2＝1和－y2＝λ(λ＞0且λ≠1)所表示的双曲线有如下结论： (1)有相同的顶点； (2)有相同的焦点； (3)有相同的离心率； (4)有相同的渐近线.其中正确的是________. 【解析】　对于方程－y2＝1，a＝2，b＝1，c＝；对于方程－y2＝λ，a′＝2，b′＝，c′＝，显然a′、b′、c′分别是a、b、c的倍，因此有相同的离心率和渐近线. 【答案】　(3)(4) 4.已知双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为________. 【解析】　e＝＝2，c＝4，a＝2，b2＝c2－a2＝12，且焦点在x轴上， 故标准方程为－＝1. 【答案】　－＝1 5.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为________. 【解析】　由e＝，得＝，c＝a，b＝＝a. 而－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，所求渐近线方程为y＝±x. 【答案】　y＝±x 6.与椭圆＋＝1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为________. 【解析】　椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，c＝4，e＝，双曲线的离心率等于－＝2， ＝2，a＝2.b2＝42－22＝12.双曲线的标准方程为－＝1. 【答案】　－＝1 7.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为________. 【导学号 【解析】　由已知得，双曲线焦点在x轴上，且c＝5，a＝3， 双曲线方程为－＝1.渐近线方程为－＝0，即±＝0. 【答案】　4x±3y＝0 8.(2016·徐州高二检测)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是________. 【解析】　如图，设MF1的中点为P，由题意知MF1PF2. 在RtPF1F2中，PF2＝F1F2·sin 60°＝2c·＝c.PF1＝F1F2·cos 60°＝2c·＝c， PF2－PF1＝2a，a＝c. e＝＝＝＋1. 【答案】　＋1 二、解答题 9.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【解】　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，a＝3，b＝2，c＝， 因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程：y＝±x＝±x. 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)虚轴长为12，离心率为； (2)一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3). 【解】　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0). 由题知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，b＝6，c＝10，a＝8， 标准方程为－＝1或－＝1. (2)方法一：双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2＜yP＝3. 双曲线的焦点在y轴上.从而有＝，b＝2a.设双曲线方程为－＝1， 由于点P(4,3)在此双曲线上，－＝1，解得a2＝5.双曲线方程为－＝1. 方法二：双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0， 双曲线的渐近线方程为－y2＝0.设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， 双曲线过点P(4,3)，－32＝λ，即λ＝－5. 所求双曲线方程为－y2＝－5，即－＝1. 能力提升] 1.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________. 【解析】　由双曲线－＝1，知a＝2，b＝2，c＝4，焦点F1(－4,0)，F2(4,0)， 渐近线方程y＝±x.由双曲线对称性知，任一焦点到任一渐近线的距离都相等. d＝＝2. 【答案】　2 2.(2016·临沂高二检测)已知点F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________. 【解析】　如图所示.由于F1AB＝F1BA，ABF1为锐角三角形，故AF1B为锐角.故只需要AF1F245°即可，即1，＝1即c2－a22ac. 即e2－2e－10，解得1－e1＋，又因为e1，故1e1＋.