高中数学苏教版选修1-1学业分层测评：第2章圆锥曲线与方程2.4.2Word版含解析.docVIP

学业分层测评(十一)　抛物线的几何性质 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为 ________. 【解析】　由定义知PO＝PF， 所以xP＝，yP＝±＝±. 【答案】　 2.抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于______. 【解析】　由消y得ax2－x＋1＝0. 直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切， 方程ax2－x＋1＝0有两相等实根. 判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，a＝. 【答案】　 3.(2016·济南高二检测)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，AF＝2，则BF＝________. 【解析】　y2＝4x，p＝2，F(1,0)，又AF＝2， xA＋＝2，xA＋1＝2，xA＝1.即ABx轴，F为AB的中点，BF＝AF＝2. 【答案】　2 4.边长为1的等边三角形OAB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程为 ________. 【解析】　由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为 y2＝2px(p＞0)，且A为x轴上方的点，则易求A，所以＝p，所以p＝， 所以抛物线方程为y2＝x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y2＝－x. 【答案】　y2＝±x 5.设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·的值是________. 【导学号 【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可知p＝1，则·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－. 【答案】　－ 6.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0).直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________. 【解析】　抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1≠x2，两式相减得，y－y＝4(x1－x2)，＝＝1， 直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x. 【答案】　y＝x 7.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是________. 【解析】　建立直角坐标系(图略)，设抛物线方程是y2＝2px(p0).A(40,30)在抛物线上， 302＝2p×40，p＝，光源到反光镜顶点的距离为＝＝＝5.625 (cm). 【答案】　5.625 cm 8.设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________. 【解析】　圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据已知只要FM4即可.根据抛物线定义，FM＝y0＋2.由y0＋24，解得y02，故y0的取值范围是(2，＋∞). 【答案】　(2，＋∞) 二、解答题 9.直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，且一直角边的方程是y＝2x，斜边长是5，求此抛物线的方程. 【导学号 【解】　如图，设直角三角形为AOB，直角顶点为O，AO边的方程为y＝2x， 则OB边的方程为y＝－x.由得A点坐标为. 由得B点坐标为(8p，－4p).AB＝5，＝5. p0，解得p＝，所求抛物线方程为y2＝x. 10.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值. 【解】　以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，如图所示.则点B的坐标为，设隧道所在抛物线方程为x2＝my(m≠0)， 则2＝m·， m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay. 将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－. 欲使卡车通过隧道，应有y－3，即－3. 解得a12.21或a－0.21(舍去).使卡车通过的a的最小整数值为13. 能力提升] 1.已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________. 【解析】　抛物线的焦点为F(1,0)，设A，则＝， ＝，由·＝－4，得y0＝±2， 点A的坐标是(1,2)或(1，－2). 【答案】　(1,2)或(1，－2) 2.(2016·苏州高二检测)过抛物线y＝ax2(a0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则＋＝________. 【解析】　由焦点弦性质知＋＝，抛物线的标准方程为x2＝y(a0)，2p＝，p＝， ＋＝4a，即＋＝4a. 【答案】　4a 3.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C