高中数学苏教版选修1-1学业分层测评：第3章导数及其应用3.2.1Word版含解析.docVIP

学业分层测评(十五)　常见函数的导数 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1.若f(x)＝，则f′(1)＝________. 【解析】　 ∴f′(1)＝. 【答案】　 2.下列命题中，正确命题的个数为________. 若f(x)＝，则f′(0)＝0； (logax)′＝xln a； 加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数； 曲线y＝x2在(0,0)处没有切线. 【解析】　因为f(x)＝，当x趋向于0时不存在极限，所以f(x)在0处不存在导数，故错误；(logax)′＝，故错误；瞬时速度是位移S(t)对时间t的导数，故错误；y＝x2在(0,0)处的切线为y＝0，故错误. 【答案】　0 3.曲线y＝sin x在点处切线的斜率为________. 【导学号 【解析】　y′＝cos x，曲线y＝sin x在点处切线的斜率为cos＝. 【答案】　 4.设f(x)＝x4，若f′(x0)＝4，则x0＝________. 【解析】　f′(x)＝4x3，f′(x0)＝4x＝4，x＝1，则x0＝1. 【答案】　1 5.已知函数f(x)＝log2x，则f′(log2e)＝________. 【解析】　f′(x)＝，f′(log2e)＝＝1. 【答案】　1 6.曲线f(x)＝在处切线的方程为________. 【解析】　f′(x)＝－，k＝f′(2)＝－，则切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0. 【答案】　x＋4y－4＝0 7.若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________. 【答案】　64 8.设直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x0)的一条切线，则实数b的值为________. 【解析】　设切点为(x0，y0)， 则y′＝，＝，x0＝2， y0＝ln 2，切点为(2，ln 2)， 切点在切线上，ln 2＝×2＋b，b＝ln 2－1. 【答案】　ln 2－1 二、解答题 9.求下列函数的导数： (1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝sin；(4)y＝e2. 【导学号 【解】　(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7. (2)y′＝(4x)′＝4xln 4. (3)y＝sin＝cos x， y′＝(cos x)′＝－sin x. (4)y′＝(e2)′＝0. 10.求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离. 【解】　方法一：依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最小，设切点为(x0，x)， y′＝(x2)′＝2x，2x0＝1，x0＝， 切点坐标为， 所求的最短距离d＝＝. 方法二：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝＝|x2－x＋2|＝2＋， 当x＝时，d有最小值，即所求的最短距离为. 能力提升] 1.设曲线y＝xn＋1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则xn等于________. 【解析】　y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1). 令y＝0得xn＝. 【答案】　 2.函数y＝x2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________. 【解析】　y′＝2x，切线斜率k＝2ak，切线方程为y－a＝2ak(x－ak)， 令y＝0，－a＝2ak·x－2a，ak＋1＝ak， 若a1＝16，a3＝4，a5＝1， a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 【答案】　21 3.抛物线y＝x2上到直线x＋2y＋4＝0距离最短的点的坐标为________. 【解析】　当切线平行于直线x＋2y＋4＝0时，切点为所求， 令y′＝2x＝－，得x＝－，所以距离最短的点的坐标为. 【答案】　 4.已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 【解】　不存在.理由如下：设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)， 所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须有cos x0·(－sin x0)＝－1，即cos x0·sin x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直. 高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。