高中数学苏教版选修1-1学业分层测评：第3章导数及其应用3.3.1Word版含解析.docVIP

学业分层测评(十七)　单调性 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1.在下列命题： 若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x(a，b)都有f′(x)＞0 若在(a，b)内对任意x都有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)内是增函数 若在(a，b)内f(x)为单调函数，则f′(x)也为单调函数 若可导函数在(a，b)内有f′(x)＜0，则在(a，b)内有f(x)＜0 其中正确的是________(填序号). 【解析】　由函数的单调性以及与其导数的关系知正确. 【答案】　 2.函数f(x)＝(x－1)ex的单调递增区间是________. 【解析】　f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝x·ex，令f′(x)＞0，解得x＞0， 所以f(x)的单调递增区间是(0，＋∞). 【答案】　(0，＋∞) 3.函数f(x)＝ln(1＋x)－的单调递增区间是________. 【解析】　f′(x)＝·(1＋x)′－＝－＝. 在定义域(－1，＋∞)内，f′(x)＞0恒成立，所以函数的单调递增区间是(－1，＋∞). 【答案】　(－1，＋∞) 4.(2016·西安高二检测) y＝＋x(k＞0)的单调减区间是________. 【导学号 【解析】　因为y′＝－＋1＝，所以y′＜0x∈(－k,0)或(0，k). 【答案】　(－k,0)，(0，k) 5.使y＝sin x＋ax为R上的增函数的a的范围是________. 【解析】　y′＝cos x＋a＞0，a＞－cos x，a＞1. 【答案】　a(1，＋∞) 6.函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________. 【解析】　令f′(x)＝1－2cos x＞0，则cos x＜，又x(0，π)，解得＜x＜π， 所以函数在(0，π)上的单调递增区间为. 【答案】　 7.函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上都递增，且在区间(0,2)上递减，则a＝________. 【解析】　f′(x)＝6x2＋2ax.若函数f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，(0,2)上递减， 则f′(x)＞0的解集是(－∞，0)(2，＋∞)，f′(x)＜0的解集是(0,2)， 0,2是f′(x)＝0的两根，解得a＝－6. 【答案】　－6 8.已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图3-3-4，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________(填序号). 图3-3-4 【解析】　由图象可获得如下信息：(1)函数y＝f(x)与y＝g(x)两个函数在x＝x0处的导数相同，故两函数在x＝x0处的切线平行或重合.(2)通过导数的正负及大小可以知道函数y＝f(x)和y＝g(x)为增函数，且y＝f(x)增长的越来越慢，而y＝g(x)增长的越来越快.综合以上信息可以知道选. 【答案】　 二、解答题 9.求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x2＋ex－xex；(2)f(x)＝＋ln x. 【解】　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex). 若x0，则1－ex0，f′(x)0；若x0，则1－ex0，f′(x)0；若x＝0，则f′(x)＝0. f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)，无单调增区间. (2)因为f′(x)＝－＋＝， 令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 单调递增 f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1). 10.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0(a≠1). (1)试用含a的代数式表示b； (2)试确定函数f(x)的单调区间.【导学号 【解】　(1)依题意，得f′(x)＝x2＋2ax＋b，由f′(－1)＝1－2a＋b＝0，得b＝2a－1. (2)由(1)得，f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x，故f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1－2a. 当a＞1时，1－2a＜－1，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1－2a) (1－2a，－1) (－1，＋∞) f′(x) ＋ － ＋ f(x) 由此可得，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1). 当a＜1时，1－2a＞－1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(