高中数学苏教版选修1-1学业分层测评：第3章导数及其应用3.3.3Word版含解析.docVIP

学业分层测评(十九)　最大值与最小值 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1.已知函数f(x)＝x3－3x，|x|≤1，f(x)的最小值为________. 【解析】　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x－1,1]时，f′(x)≤0，所以f(x)在－1,1]上是单调递减函数，f(x)的最小值为f(1)＝－2. 【答案】　－2 2.(2016·徐州高二检测)函数y＝在0,2]上的最大值是________. 【解析】　由f(x)＝得f′(x)＝，当x0,1]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当x(1,2]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＝1时，函数取得最大值f(1)＝. 【答案】　 3.函数y＝x－sin x，x的最大值是________. 【解析】　因为y′＝1－cos x，当x时，y′＞0，则函数y在区间上为增函数， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π. 【答案】　π 4.(2016·无锡高二检测)函数f(x)＝＋x(x1,3])的值域为________. 【解析】　f′(x)＝－＋1＝，所以在1,3]上f′(x)＞0恒成立， 即f(x)在1,3]上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝. 故函数f(x)的值域为. 【答案】　 5.已知函数y＝－x2－2x＋3在区间a,2]上的最大值为，则a等于________. 【解析】　当a≤－1时，最大值为4，不合题意，当－1＜a＜2时，f(x)在a,2]上是减函数， f(a)最大，－a2－2a＋3＝，解得a＝－或a＝－(舍去). 【答案】　－ 6.函数f(x)＝x2－ln x的最小值为________. 【解析】　f′(x)＝x－＝，且x0.令f′(x)0，得x1; 令f′(x)0，得0x1.f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝－ln 1＝. 【答案】　 7.下列结论： 在区间a，b]上，函数的极大值就是最大值； 在区间a，b]上，函数的极小值就是最小值； 在区间a，b]上，函数的最大值、最小值在x＝a和x＝b时达到； 在区间a，b]上的连续函数f(x)在a，b]上必有最大值和最小值. 其中正确的是________(填序号). 【解析】　因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值，极小值也不一定就是最小值，最值不一定在区间端点取到，所以都不正确，而连续函数f(x)在a，b]上必有最大值和最小值，所以正确. 【答案】　 8.(2016·马鞍山高二检测)已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a＞0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________. 【解析】　由f(x)＝＋2ln x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a＞0， 令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0. 故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1. 要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e. 【答案】　e，＋∞) 二、解答题 9.求函数f(x)＝－x3＋3x，x－，]的最大值和最小值. 【解】　f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x － (－，－1) －1 (－1,1) 1 (1，) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 0 －2 2  0 由上表可知：当x＝1时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(1)＝2. 当x＝－1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(－1)＝－2. 10.已知函数f(x)＝＋kln x，k≤0，求函数f(x)在上的最大值和最小值. 【解】　因f(x)＝＋kln x，f′(x)＝＋＝. 若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)0， f(x)在上单调递减.f(x)min＝f(e)＝，f(x)max＝f＝e－1. 若k0，f′(x)＝＝，则在上恒有0， f(x)在上单调递减，f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1. 综上，当k＝0时，f(x)min＝，f(x)max＝e－1； 当k0时，f(x)min＝＋k－1，f(x)max＝e－k－1. 能力提升] 1.(2016·淄博高二检测)已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a).若f′(－1)＝0，函数f(x)在－2,2]上的最大值为________，最小值为________. 【解析】　由原式可得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，f′(x)＝3x2－2ax－4.由f′(－1)＝0得a＝，此时f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x