高中数学苏教版选修1-1学业分层测评：第3章导数及其应用3.3.2Word版含解析.docVIP

学业分层测评(十八)　极大值与极小值 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1.函数y＝2－x2－x3的极大值为________；极小值为________. 【解析】　y′＝－2x－3x2＝－x(3x＋2)，由y′＝0得x＝0或x＝－.函数在，(0，＋∞)上都递减，在上递增，所以函数的极大值为f(0)＝2，极小值为f＝. 【答案】　2　 2.(2016·浏阳高二检测)函数f(x)＝＋ln x(x＞0)的极小值为________. 【解析】　f(x)＝＋ln x(x＞0)，f′(x)＝－＋.由f′(x)＝0解得x＝2. 当x(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数. x＝2为f(x)的极小值点，所以函数f(x)＝＋ln x的极小值为f(2)＝1＋ln 2. 【答案】　1＋ln 2 3.(2016·宿迁高二检测)若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________. 【导学号 【解析】　f′(x)＝(x≠－1)，又y＝f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝0，解得a＝3. 【答案】　3 4.(2016·浙江瑞安月考)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图3-3-6所示，则x＋x等于________. 图3-3-6【解析】　由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝. 【答案】　 5.函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极大值为______. 【解析】　y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜2时，y′＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5，无极小值. 【答案】　5 6.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数图象如图3-3-7所示，则函数f(x)的极小值是________. 图3-3-7 【解析】　由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f(x)在x＝0时取得极小值c. 【答案】　c 7.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________. 【解析】　令f(x)＝0得a＝3x－x3，于是y＝a和y＝3x－x3有3个不同交点，画出y＝3x－x3的图象即可解决.结合下图，可知－2＜a＜2. 【答案】　－2＜a＜2 8.(2016·南通高二检测)如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图3-3-8所示，给出下列判断： 图3-3-8 函数y＝f(x)在区间内单调递增； 函数y＝f(x)在区间内单调递减； 函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； 当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值； 当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值. 则上述判断中正确的是________(填序号). 【解析】　从图象知，当x(－3，－2)时，f′(x)＜0，当x时，f′(x)＞0， 所以函数y＝f(x)在内不单调，同理，函数y＝f(x)在内也不单调， 故均不正确；当x(4,5)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增，故正确；由于f′(2)＝0，且在x＝2的左、右两侧的附近分别有f′(x)＞0与f′(x)＜0， 所以当x＝2时函数y＝f(x)取得极大值，而在x＝－的左、右两侧的附近均有f′(x)＞0， 所以x＝－不是函数y＝f(x)的极值点，即均不正确.故填. 【答案】　 二、解答题 9.求函数f(x)＝－2的极值. 【解】　函数的定义域为R.f′(x)＝＝－，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 极小值 极大值 由表可知，当x＝－1时，函数取得极小值f(－1)＝－3.当x＝1时，函数取得极大值f(1)＝－1. 10.已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3. (1)求a，b的值； (2)求函数y的极小值.【导学号 【解】　(1)y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′＝3a＋2b＝0，又因为y＝a＋b＝3， 即解得 (2)y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0或x＝1. 当x＝0时，函数y取得极小值0. 能力提