高中数学苏教版选修2-1学业分层测评：第2章圆锥曲线与方程2.4.2Word版含解析.docVIP

学业分层测评 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1．抛物线焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5，则该抛物线的方程是________． 【解析】　设抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，设A(m，－3)． 由抛物线定义得5＝AF＝， 又(－3)2＝2am， a＝±1或a＝±9， 故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 【答案】　y2＝±2x或y2＝±18x 2．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB＝4，则焦点到弦AB的距离为________． 【解析】　由题意我们不妨设A(x,2)，则(2)2＝4x，x＝3，直线AB的方程为x＝3，抛物线的焦点为(1,0)，焦点到弦AB的距离为2. 【答案】　2 3．在抛物线y2＝16x内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是________. 【导学号 【解析】　显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k，则直线方程为y－1＝k(x－2)，由消去x得ky2－16y＋16(1－2k)＝0，y1＋y2＝＝2(y1，y2分别是A，B的纵坐标)，k＝8，代入得y＝8x－15. 【答案】　y＝8x－15 4．已知过抛物线Γ：x＝－的焦点F的直线交抛物线Γ于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝－7，则AB的值为________． 【解析】　因为x＝－，所以y2＝－2x，所以抛物线Γ的准线方程为x＝，根据抛物线的定义知AF＝－x1，BF＝－x2，所以AB＝AF＋BF＝1－(x1＋x2)＝1－(－7)＝8. 【答案】　8 5．直线y＝k(x＋1)与抛物线y2＝8x有两个交点，则实数k的取值范围是________． 【解析】　联立直线与抛物线方程，得所以ky2－8y＋8k＝0. 由题意得解得－＜k＜，且k≠0. 所以实数k的取值范围是(－，0)(0，)． 【答案】　(－，0)(0，) 6．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，P是E的准线l上一点，Q是直线PF与E的一个交点．若＝，则直线PF的方程为________. 【导学号 【解析】　抛物线E：y2＝4x的焦点F(1,0)，设Q到l的距离为d，则QF＝d. ＝，||＝||＝d，直线的倾斜角为45°或135°，直线的斜率为±1， 直线的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0. 【答案】　x＋y－1＝0或x－y－1＝0 7．如图2-4-3是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽_____________ m. 图2-4-3 【解析】　建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)，代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2 m. 【答案】　2 8．设点A的坐标为(a,0)(aR)，则曲线y2＝2x上的点到A点的距离的最小值为________. 【导学号 【解析】　设抛物线上的点到A点的距离为d，抛物线上任一点的坐标为(x，y)，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－2)x＋a2 ＝x－(a－1)]2＋(2a－1)． 因为x0，＋∞)，所以当a－1≥0，即a≥1时，d＝2a－1，dmin＝； 当a－10，即a1时，当x＝0时，d＝a2，dmin＝|a|. 【答案】　(a≥1)或|a|(a1) 二、解答题 9．已知抛物线y2＝2px (p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程． 【解】　设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x， 由得x＝0(舍)或x＝， A点坐标为，B点坐标为(2pk2，－2pk)， 由|OA|＝1，|OB|＝8， 可得 解方程组得k6＝64，即k2＝4. 则p2＝＝，又p0，则p＝， 故所求抛物线方程为y2＝x. 10．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程； (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值． 【解】　(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9， 所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x. (2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可化简为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)；设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4