高中数学苏教版选修2-1学业分层测评：第3章空间向量与立体几何3.2.3Word版含解析.docVIP

学业分层测评 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为________． 【解析】　＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，cos〈，〉＝＝＝， 直线AB，CD所成角的余弦值为. 【答案】　 2．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________. 【导学号 【解析】　依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N. ＝，＝， cos〈，〉＝＝， 故异面直线AM与CN所成角的余弦值为. 【答案】　 3．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________． 【解析】　如图，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)． 所以A(1,0,0)，E，F， 所以＝，＝， 则即 取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n2＝(1，－1,3)， 所以cos〈n1，n2〉＝＝， 所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝，sin α＝，所以tan α＝. 【答案】　 4．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________． 【解析】　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n，所以有 令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝. 【答案】　 5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是________． 【解析】　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)． 所以＝(－1,0,1)，＝. 设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则 取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)， cos〈n，u〉＝. 【答案】　 6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱长AA1和BB1的中点，则sin〈C，〉＝________. 【解析】　建立如图直角坐标系，设正方体的棱长为2.可知C＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈C，〉＝－， sin〈C，〉＝. 【答案】　 7. 如图3-2-28，在四面体A-BCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，ABC＝DCB＝，则二面角A-BC-D的大小为________． 图3-2-28 【解析】　二面角A-BC-D的大小等于AB与CD所成角的大小.＝＋＋，而2＝2＋2＋2－2||·||·cos 〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉， cos〈，〉＝，AB与CD所成角为，即二面角A-BC-D的大小为. 【答案】　 8．在空间四边形OABC中，OB＝OC，AOB＝AOC＝，则cos〈，〉的值为________． 【解析】　·＝·(－)＝·－· ＝||·||cos －||·||·cos ＝||(||－||)＝0. cos〈，〉＝＝0. 【答案】　0 二、解答题 9．如图3-2-29，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连结CE并延长交AD于F. 图3-2-29 (1)求证：AD平面CFG； (2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值． 【解】　(1)证明：在ABD中，因为E是BD中点， 所以EA＝EB＝ED＝AB＝1， 故BAD＝，ABE＝AEB＝， 因为DAB≌△DCB，所以EAB≌△ECB， 从而有FED＝BEC＝AEB＝， 所以FED＝FEA， 故EFAD，AF＝FD. 因为PG＝GD，所以FGPA. 又PA平面ABCD， 所以GFAD，故AD平面CFG. (2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，故＝，＝，＝. 设平面BCP的一个法向量n1＝(1，y1，z1