高中数学苏教版选修2-1学业分层测评：第3章空间向量与立体几何3.1.5Word版含解析.docVIP

学业分层测评 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________. 【解析】　a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)， (c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，x＝2. 【答案】　2 2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于________. 【导学号 【解析】　设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c， 2＝a2＋b2＋c2＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，因此||＝5. 【答案】　5 3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________． 【解析】　＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)， cos〈，〉＝＝， 〈，〉＝60°. 【答案】　60° 4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________. 【解析】　a·b＝2×3×cos 60°＝3，|2a－3b|＝＝＝. 【答案】　 5．如图3-1-32,120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________． 图3-1-32 【解析】　AC⊥AB，BDAB， ·＝0， ·＝0. 又二面角为120°， 〈，〉＝60°， ＝||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝164， ||＝2. 【答案】　2 6．如图3-1-33，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBC∥FE，ABAD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD，则异面直线BF与ED所成角的大小是________． 3-1-33 【解析】　分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M. 则＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)， cos〈，〉＝＝＝－， 〈，〉＝120°. 所以异面直线BF与ED所成角的大小为180°－120°＝60°. 【答案】　60° 7．如图3-1-34所示，已知直线AB平面α，BCα，BCCD，DF平面α，且DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，则A，D两点间的距离为________． 图3-1-34 【解析】　＝＋＋， DCF＝30°，DF平面α， CDF＝60°， ||2＝(＋＋)2 ＝4＋4＋4＋2×2×2×cos 120° ＝8， ||＝2. 【答案】　2 8．若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a，a，则a＝________. 【解析】　设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得： 或 【答案】　或 二、解答题 9.如图3-1-35，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证： 图3-1-35 (1)AO⊥CD′； (2)AC′平面B′CD′. 【证明】　(1)因为＝＋＝＋(＋)， 因为＝－， 所以· ＝(＋＋2)·(－)＝(·－·＋·－·＋2·－2·)＝(||2－||2)＝0，所以，故AOCD′. (2)因为·＝(＋＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋·＋·＋·， 可知·＝0，·＝0， ·＝0，·＝||2， ·＝－||2，·＝0， 所以·＝||2－||2＝0， 所以，所以AC′B′C. 同理可证，AC′B′D′. 又B′C，B′D′平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′平面B′CD′. 10.如图3-1-36，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b， 图3-1-36 (1)求||； (2)求cos〈，〉． 【解】　如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则 A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F，G， ＝，＝，＝(－a,0,0)． (1)||＝ ＝ . (2)cos〈，〉＝ ＝＝. 能力提升] 1．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________. 【导学号 【解析】　b－a＝(1＋t,2t－1,0)，|b－a|＝＝， 当t＝时，|b－a|取得最小值. 【答案】　 2．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以，为边的平行四边形的面积为________． 【解析】　由题意可