高中数学苏教版选修2-2学业分层测评：第二章推理与证明14Word版含解析.docVIP

学业分层测评(十四) (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1．如图2-1-19所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是________. 【导学号 图2-1-19 【解析】　由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，a＝3＋3＝6. 【答案】　6 2．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”： 23＝　33＝　43＝…. 仿此，若m3的“分裂数”中有一个是2 015，则m＝________. 【解析】　根据分裂特点，设最小数为a1， 则ma1＋×2＝m3，a1＝m2－m＋1. a1为奇数，又452＝2 025， 猜想m＝45. 验证453＝91 125＝. 【答案】　45 3．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________. 【解析】　平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等． 【答案】　夹在两个平行平面间的平行线段相等 4．观察下面不等式：1＋，1＋＋，1＋＋＋，…，猜想第n个不等式为________． 【解析】　当n≥2时，则不等式左端就为1＋＋＋…＋，而右端的分母正好是n，分子是2n－1，因此可以猜想，n≥2时，满足的不等式为1＋＋＋…＋. 故可归纳式子为：1＋＋＋…＋(n≥2)． 【答案】　1＋＋＋…＋(n≥2) 5．若a1，a2，a3，a4R＋，有以下不等式成立： ≥，≥，≥.由此推测成立的不等式是_______________________________________________． (要注明成立的条件) 【答案】　≥(a1，a2，a3，…，anR＋) 6．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…则52 015的末四位数字为________． 【解析】　55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125， 58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125， 510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125， 512末四位数字为0 625，…， 由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， 52 015＝54×503＋3末四位数字为8 125. 【答案】　8 125 7．(2016·湖北调研)如图2-1-20所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小圆圈个数为f(n)，则 图2-1-20 (1)f(5)＝________； (2)f(2 015)的个位数字为________． 【解析】　观察规律可知：f(5)＝4×5＋1＝21，f(2 015)＝2 014×2 015＋1，它的个位数字是1. 【答案】　(1)21　(2)1 8．(2016·江西稳派调研)将2n按如表所示的规律填在5列的数表中，设22 015排在数表的第n行，第m列，则第m－1列中的前n个数的和Sn＝________. 21 22 23 24 28 27 26 25 29 210 211 212 216 215 214 213 … … … … … 【解析】　由于2 015＝4×503＋3，故22 015位于表格的第504行第4列，所以n＝504，m＝4.所以Sn＝＝. 【答案】　 二、解答题 9．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(nN*)，证明： (1)数列是等比数列； (2)Sn＋1＝4an. 【导学号 【证明】　(1)an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， (n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. 故＝2·，数列是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知＝4·(n≥2)． Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)． 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝4＝4a1， 对任意正整数n，都有Sn＋1＝4an. 10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明． 【解】　类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a. 证明：设M是正四面体P-ABC内任意一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4. 由于正四面体四个面的面积相等，故有：VP-ABC＝VM-ABC＋VM-PAB＋VM-PAC＋VM-PBC ＝