高中数学苏教版选修2-2学业分层测评：第一章导数及其应用6Word版含解析.docVIP

学业分层测评(六) (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值． 【解析】　由题意得，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x0时，f′(x)0；当0x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.故当x＝2时取得极小值． 【答案】　2 2．(2016·南通质检)若函数f(x)＝x·2x在x0处有极值，则x0＝________. 【解析】　f′(x)＝2x＋x·2xln 2＝2x(1＋xln 2)， 由已知f′(x0)＝0，2x0(1＋x0ln 2)＝0， 即1＋x0ln 2＝0.x0＝－. 【答案】　－ 3．设aR，若函数y＝ex－ax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围为________． 【解析】　y′＝ex－a，令y′＝0得x＝ln a，令ln a0，则a1. 【答案】　(1，＋∞) 4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________． 【解析】　y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)． 令y′＝0得x1＝0，x2＝4. x，y′，y之间的关系如下表 x (－∞，0) 0 (0,4) 4 (4，＋∞) y′ － 0 ＋ 0 － y 极小值 极大值 由表可知y极大值＝f(4)＝32＋m＝13. m＝－19. 【答案】　－19 5．已知函数f(x)＝x3＋(3－5cos α)x2－3x在x＝1处有极值，则cos 2α＝________. 【解析】　f′(x)＝3x2＋2(3－5cos α)x－3， 且f(x)在x＝1处有极值． f′(1)＝3＋2(3－5cos α)－3＝0，cos α＝， 因此cos 2α＝2cos2α－1＝－. 【答案】　－ 6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图1-3-4所示，则下列说法中正确的是________．(填序号) 图1-3-4 当x＝时函数取得极小值； f(x)有两个极值点； 当x＝2时函数取得极小值； 当x＝1时函数取得极大值． 【解析】　由图象可知，当x(－∞，1)时，f′(x)0； 当x(1,2)时，f′(x)0； 当x(2，＋∞)时，f′(x)0. f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有不正确． 【答案】　 7．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1,3)内与x轴的交点的个数为________． 【解析】　f′(x)＝4x3＋9，易知f′(x)在(－1,3)上单调递增，则f′(x)f′(－1)＝50，所以f(x)在(－1,3)上单调递增，f(－1)·f(3)0.f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点个数为1. 【答案】　1 8．(2016·石家庄高二检测)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________． 【解析】　f′(x)＝3x2＋2x－a， 函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点， 即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根． 又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－. 应满足 ∴1≤a5. 【答案】　1,5) 二、解答题 9．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3. (1)求实数a，b的值； (2)求函数y的极小值. 【导学号 【解】　(1)y′＝3ax2＋2bx. 由题意，知即 解得 (2)由(1)知y＝－6x3＋9x2. 所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)． 令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0. 所以当x0时，y′0；当0x1时，y′0； 当x1时，y′0. 所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0. 10．(2016·太原高二检测)已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a0)上存在极值，求实数a的取值范围． 【解】　因为f(x)＝，x0， 则f′(x)＝－， 当0x1时，f′(x)0， 当x1时，f′(x)0. 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f(x)在x＝1处取得极大值． 因为函数f(x)在区间(其中a0)上存在极值， 所以解得a1. 能力提升] 1．已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的惟一一个极值点，则实数k的取值范围为_________________． 【解析】　f′(x)＝－k＝(x0)．设g(x)＝， 则g′(x)＝，则g(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e. 【答案】　(－∞，e] 2．函数f(x