高中数学苏教版选修2-2学业分层测评：第二章推理与证明15Word版含解析.docVIP

学业分层测评(十五) (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1.命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1]上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导得f′(x)＝－ln x，当x(0,1)时，f′(x)＝－ln x0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法. 【答案】　综合法 2.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是x________y. 【解析】　要比较x，y的大小.x0，y0， 只需比较x2，y2的大小，即与a＋b的大小. a，b为不相等的正数，2a＋b， a＋b， 则x2y2，xy. 【答案】　 3.已知sin θ＋cos θ＝且≤θ≤，则cos 2θ＝______________. 【解析】　由sin θ＋cos θ＝得1＋2sin θcos θ＝.则2sin θcos θ＝－，≤θ≤，sin θ0，cos θ0. sin θ－cos θ＝＝.sin θ＝， cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝－. 【答案】　－ 4.(2016·南京高二期末)已知函数f(x)＝ex－ax在区间(0,1)上有极值，则实数a的取值范围是________. 【解析】　函数f(x)＝ex－ax在区间(0,1)上有极值，就是导函数f′(x)＝ex－a在区间(0,1)上有零点.即方程ex－a＝0在区间(0,1)上有解.所以a＝ex(1，e). 【答案】　(1，e) 5.已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于________. 【解析】　函数的定义域为R，函数为奇函数，当x＝0时f(0)＝0，即＝0， a＝1. 【答案】　1 6.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________. 【解析】　a1·a9＝a，即a1·(a1＋8d)＝(a1＋2d)2， 4d(a1－d)＝0，d≠0，a1＝d， ＝＝. 【答案】　 7.(2016·济南高二检测)已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________. 【解析】　因为f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，所以m2－4＝0，m＝±2. 由题意知g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立， 则Δ＝42－4×(－3)×m≤0，解得m≤－，故m＝－2. 【答案】　－2 8.如图2-2-1，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BDA1C(写上一个条件即可). 图2-2-1 【解析】　要证BDA1C，只需证BD平面AA1C.因为AA1BD，只要再添加条件ACBD，即可证明BD平面AA1C，从而有BDA1C. 【答案】　ACBD(或底面为菱形) 二、解答题 9.已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S. 【证明】　要证a2＋b2＋c2≥4S， 只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)≥2 absin C，即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab， 只需证a2＋b2≥2ab， 显然上式成立.所以a2＋b2＋c2≥4S. 10.已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求证：ABC为正三角形. 【证明】　2cos 2B－8cos B＋5＝0， 4cos2B－8cos B＋3＝0， cos B＝或cos B＝(舍去)， B＝60°. a，b，c成等差数列，2b＝a＋c， cos B＝＝＝， a＝c. 又B＝60°， ABC为正三角形. 能力提升] 1.如果a＋ba＋b，则实数a，b应满足的条件是________. 【解析】　a＋ba＋ba－ab－ba(－)b(－)(a－b)(－)0 (＋)(－)20， 故只需a≠b且a，b都不小于零即可. 【答案】　a≥0，b≥0且a≠b 2.已知ABC的两顶点A、B是双曲线－＝1的左右两个焦点，顶点C在双曲线的右支上，则＝________. 【解析】　A、B是双曲线－＝1的左右两个焦点，C在双曲线的右支上， |AB|＝2＝10，|CA|－|CB|＝6， 由正弦定理，得＝＝－. 【答案】　－ 3.使不等式＋21＋成立的正整数p的最大值是________. 【解析】　由＋21＋，得＋2－1， 即p(＋2－1)2， 所以p12＋4－4－2， 由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12. 【答案】　12 4.(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0x1，求证：logx ＋logx ＋logx logx