高中数学苏教版选修2-2学业分层测评：第二章推理与证明17Word版含解析.docVIP

学业分层测评(十七) (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1.设f(n)＝1＋＋＋…＋(nN*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________. 【解析】　f(n＋1)－f(n)＝1＋＋＋…＋＋＋＋－f(n)＝＋＋. 【答案】　＋＋ 2.(2016·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“＋＋＋…＋＞”，当n＝1时，不等式左边的项为：________. 【解析】　不等式左边分子是1，分母是从n＋1一直到3n＋1的分数之和，当n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，左边项为＋＋. 【答案】　＋＋ 3.用数学归纳法证明：“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取值________. 【导学号 【解析】　当n＝1时，21＝12＋1；当n＝2时，22＜22＋1，当n＝3时，23＜32＋1；当n＝4时，24＜42＋1；当n≥5时，2n＞n2＋1恒成立. n0＝5. 【答案】　5 4.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，nN*，则f(k＋1)－f(k)＝______________. 【解析】　f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2， f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2， 则f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 【答案】　(2k＋1)2＋(2k＋2)2 5.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝________. 【解析】　a1＝1＝，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝. 【答案】　 6.用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，nN*)时，假设n＝k命题成立之后，证明n＝k＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________. 【解析】　要想办法出现ak＋1＋bk＋1，两边同乘以，右边也出现了要证的k＋1. 【答案】　 7.以下是用数学归纳法证明“nN*时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立. (2)假设当n＝k(kN*)时不等式成立，即2k＞k2. 那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 即当n＝k＋1时不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知对任何nN*不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号). 【解析】　在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论.如k＝2时，k2＜2k＋1. 【答案】　(2) 8.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是_____. 【解析】　当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12. 当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12， 所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2. 【答案】　(k＋1)2＋k2 二、解答题 9.用数学归纳法证明：当nN*时，1＋22＋33＋…＋nn＜(n＋1)n. 【证明】　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，不等式成立. (2)假设当n＝k(kN*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk＜(k＋1)k， 那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1＜(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)＜(k＋2)k＋1＝(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边＜右边， 即当n＝k＋1时不等式也成立. 根据(1)和(2)，可知不等式对任意nN*都成立. 10.已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝0.试猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解】　由an＋1＝，a1＝0，得 a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝， a5＝＝，…. 归纳上述结果，可得猜想an＝(n＝1,2,3，…). 下面用数学归纳法证明这个猜想： (1)当n＝1时，猜想显然成立. (2)假设当n＝k时猜想成立，即ak＝， 那么，当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝， 即当n＝k＋1时，猜想也成立. 根据(1)和(2)，可知猜想an＝对所有正整数都成立，即为数列{an}的通项公式. 能力提升] 1.用数学归纳法证明“当n为正偶数时xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设应写成________. 【解析】　由于n为正偶数，第一步应检验n＝2时，命题成立. 第二步，应假设n＝2k(kN*)时命题成立，即n＝2k(kN*)时x2k－y2k能被x＋y整除. 【答案】　2　假设n＝2k(kN*)时x2k